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Autor Tema: ¿Es R con la topología del límite inferior conexo?  (Leído 631 veces)
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« : 17/05/2018, 07:37:07 pm »

Hola, quiero ver si R con la topología del límite inferior es conexo.

Entonces si considero que [texx]\left\{{[a,b): a,b\in{R}}\right\}[/texx] es una base de esta topología. Puedo afirmar que R NO es conexo ya que se puede escribir como la unión de dos abiertos disjuntos, considerando que [texx]\cup{\left\{{[a,b): a, b \in{R},\textrm{b fijo, a menor que b} }\right\}}[/texx] es [texx](-\infty;b)[/texx] y que [texx]\cup{\left\{{[b,c): b, c \in{R},\textrm{b fijo, c mayor que b} }\right\}}[/texx]  es [texx][b,+\infty)[/texx]:¿eh?:

Entonces como la unión de infinitos abiertos es un abierto habría encontrado dos abiertos disjuntos cuya unión es R.

¿Es esto correcto?

Luego tengo que ver qué subconjuntos de R son conexos con esta topología.
En ese caso tendría que considerar todos los intervalos o semirrectas de la forma [a,b) o [texx][a,+\infty)[/texx] son no conexos.
Pero los intervalos de la forma [a,b] o (a, b] si son conexos porque no los puedo escribir como la unión de abiertos disjuntos con esta topología???
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martiniano
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« Respuesta #1 : 18/05/2018, 05:00:18 am »

Hola buenas.
No entiendo mucho de topología, pero creo que el conjunto que estás considerando no define una topología, ya que la unión numerable de semiabiertos no siempre pertenece al conjunto de semiabiertos.
Saludos.
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julius
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« Respuesta #2 : 18/05/2018, 05:26:44 am »

Sí, tu respuesta es correcta. El mismo argumento muestra que cualquier subconjunto [texx]X[/texx] con dos o más puntos no es conexo, porque si [texx]a,b\in X, a<b[/texx] entonces [texx]X = \left\{(-\infty,b)\cap X\right\}\cup \left\{X\cap[b,\infty\right\}[/texx] permite escribir [texx]X[/texx] como unión de dos abiertos (en la topología relativa) disjuntos y no vacíos. Por tanto, los únicos conexos son los puntos y el conjunto vacío.
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« Respuesta #3 : 18/05/2018, 09:16:45 am »

Muchas gracias!!
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« Respuesta #4 : 18/05/2018, 09:18:10 am »

Hola buenas.
No entiendo mucho de topología, pero creo que el conjunto que estás considerando no define una topología, ya que la unión numerable de semiabiertos no siempre pertenece al conjunto de semiabiertos.
Saludos.
Esa era una de mis dudas
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martiniano
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« Respuesta #5 : 18/05/2018, 09:50:38 am »

Hola buenas.
No entiendo mucho de topología, pero creo que el conjunto que estás considerando no define una topología, ya que la unión numerable de semiabiertos no siempre pertenece al conjunto de semiabiertos.
Saludos.
Esa era una de mis dudas

Sí, toma los siguientes conjuntos con n entero positivo:
[texx]\left [ \displaystyle\frac{1}{n},2\right )\in{}\left \{ [a,b):a,b\in{}\mathbb{R} \right \}[/texx]

Pero:
[texx] \displaystyle\bigcap_{n=1}^{n=\infty}{\left [ \displaystyle\frac{1}{n},2\right )=(0,2)\not\in{}\left \{ [a,b):a,b\in{}\mathbb{R} \right \}}[/texx]

Entonces [texx](\mathbb{R},\left \{ [a,b):a,b\in{}\mathbb{R} \right \})[/texx] no es una topología.

Saludos.
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« Respuesta #6 : 18/05/2018, 10:17:00 am »

Es que la topología está engendrada por los semiabiertos, pero puede contener más conjuntos, como por ejemplo los abiertos de la topología usual.
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martiniano
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« Respuesta #7 : 18/05/2018, 03:29:22 pm »

Hola
Es que la topología está engendrada por los semiabiertos, pero puede contener más conjuntos, como por ejemplo los abiertos de la topología usual.
Sí, pues es que es eso... Yo hubiese dicho que para poder decir que una colección de subconjuntos de un  cierto conjunto A es una base de una topología se debe cumplir, entre otras cosas, que la unión numerable de cualesquiera de ellos debe ser uno de los subconjuntos de la colección, y esto no le pasa a los intérvalos del enunciado, como he intentando mostrar un poco más arriba. De hecho, también pienso que esto le debe pasar a todos los subconjuntos que definan la topología, no sólo a los de una de sus bases.
Saludos.
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« Respuesta #8 : 31/05/2018, 03:40:34 pm »

Hola
Es que la topología está engendrada por los semiabiertos, pero puede contener más conjuntos, como por ejemplo los abiertos de la topología usual.
Sí, pues es que es eso... Yo hubiese dicho que para poder decir que una colección de subconjuntos de un  cierto conjunto A es una base de una topología se debe cumplir, entre otras cosas, que la unión numerable de cualesquiera de ellos debe ser uno de los subconjuntos de la colección, y esto no le pasa a los intérvalos del enunciado, como he intentando mostrar un poco más arriba. De hecho, también pienso que esto le debe pasar a todos los subconjuntos que definan la topología, no sólo a los de una de sus bases.
Saludos.


Hola buenas.

Bien, ya sé lo que estaba pasando en esta conversación y es que, básicamente, estaba un poco confundido con lo de la base de una topología. Por si sirve de algo en este hilo se habla también de algo similar.

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=104149.0

Pido disculpas a quien haya podido confundir con mi intervención.

Saludos y gracias por la comprensión.
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