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Autor Tema: UTF 4 sin descenso (III)  (Leído 112 veces)
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Fernando Moreno
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« : 17/05/2018, 06:11:54 am »

Hola, a ver si ahora.


Supongo que  [texx]z^4=x^4+y^4[/texx]  para [texx] x,y,z[/texx]  enteros, coprimos 2 a 2 y  [texx]x[/texx]  par.

Como:  [texx](z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2[/texx] ;  serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:

[texx]x^2=2pq[/texx]  ,  [texx]y^2=p^2-q^2[/texx]  ,  [texx]z^2=p^2+q^2[/texx] ;  para  [texx]p,q[/texx]  coprimos,  [texx]p\,>\,q[/texx]  y  [texx]q[/texx] ,  por ejemplo, par.

Como:  [texx]z^2=p^2+q^2[/texx] ,  sabemos que:  [texx]z=p+q-\delta[/texx] ;  para un cierto  [texx]\delta[/texx]  entero y  [texx]\delta\,<\,q[/texx] .  Supongamos que  [texx]\delta\,>\,q[/texx] .  Entonces:  [texx]q-\delta=-q’[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]z=p-q’[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]z=p’[/texx]  [texx](p’\,<\,p)[/texx] ;  lo que no puede ser. Luego:  [texx]0\,<\,\delta\,<\,q[/texx] .

De esta manera:

[texx](p+q-\delta)^2=p^2+q^2[/texx]

[texx]p^2+q^2+2pq+\delta^2-2p\delta-2q\delta=p^2+q^2[/texx]

[texx]2pq+\delta^2=2p\delta+2q\delta[/texx]

[texx]\delta^2=2(p(\delta-q)+q\delta)[/texx]

[texx]\delta[/texx] ,  que divide a la parte izquierda de la igualdad; en la parte derecha no divide á  [texx]p[/texx]  que es impar, luego divide á  [texx]q[/texx] .  La otra posibilidad es que  [texx]\delta[/texx]  sea igual a dos; pero en ese caso también dividiría á  [texx]q[/texx] ,  que es par y vamos a demostrar que  [texx]\delta[/texx]  no puede dividir á  [texx]q[/texx] .

1)  Si  [texx]\delta\,>\,\dfrac{q}{2}[/texx] ,  por razones obvias no hará entera la división  [texx]\dfrac{q}{\delta}[/texx] .

2)  Supongamos por lo tanto que  [texx]\delta\,<\,\dfrac{q}{2}[/texx] .  Para visualizarlo establezco por ejemplo que:  [texx]\delta=0,49\,q[/texx] .  Tendremos:

[texx]z=p+q-0,49\,q[/texx]  [texx]\Rightarrow[/texx]  [texx]z=p+q\,(1-0,49)[/texx] .  Y entonces:

[texx]z^2=(p+0,51\,q)^2[/texx]  [texx]\Rightarrow[/texx]  [texx]p^2+0,2601\,q^2+1,02\,pq[/texx]

Pero esto no puede ser, porque  [texx]1,02\,pq[/texx]  es mayor que  [texx]q^2[/texx] .  Contra más pequeño (por debajo de la mitad)  sea  [texx]\delta[/texx] ,  más grande por encima de  [texx]1[/texx]  será  [texx]pq[/texx]  haciendo que:  [texx]z^2\,<\,(p+q-\delta)^2[/texx] .  Para que este factor que multiplica á  [texx]pq[/texx]  sea más pequeño que  [texx]1[/texx] ,  por fuerza  [texx]\delta\,>\,\dfrac{q}{2}[/texx]  y por lo tanto no hará entero á:  [texx]\dfrac{q}{\delta}[/texx] . 

Además esto es fácilmente comprobable de una manera empírica (no exhaustivamente claro). Pongo un ejemplo: En el siguiente enlace hay una relación de todas las ternas pitagóricas primitivas cuyas  [texx]x,y,z[/texx]  son menores que mil:

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/pitagoricas-ternas.html

Basta coger al azar cualquier terna. Lo hago ahora:  [texx](336,377,505)[/texx] .  Efectivamente:  [texx]505^2=377^2+336^2[/texx] .  Pues bien:  [texx]505=377+336-208[/texx]  y comprobamos que:  [texx]208\,<\,336[/texx] ;  [texx]208\,>\,\dfrac{336}{2}[/texx]  y por lo tanto  [texx]\dfrac{336}{208}[/texx]  no da entero.


Un saludo,
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  La individualidad es el engaño útil del verdadero objetivo general.  F. Moreno 
Fernando Moreno
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« Respuesta #1 : 21/05/2018, 08:17:58 am »

Hola, ¿qué opináis de esta propuesta? ¿puede estar bien?
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  La individualidad es el engaño útil del verdadero objetivo general.  F. Moreno 
Luis Fuentes
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« Respuesta #2 : 24/05/2018, 05:44:49 am »

Hola

[texx]2pq+\delta^2=2p\delta+2q\delta[/texx]

[texx]\delta^2=2(p(\delta-q)+q\delta)[/texx]

[texx]\delta[/texx] ,  que divide a la parte izquierda de la igualdad; en la parte derecha no divide á  [texx]p[/texx]  que es impar, luego divide á  [texx]q[/texx] . 

No me queda claro porque dices que [texx]\delta[/texx] divide a [texx]q[/texx]. Es cierto que [texx]\delta[/texx] no divide a [texx]p[/texx] (porque el primero es par y el segundo no). Pero, ¿no podría tener [texx]\delta[/texx] algún factor común con [texx]p[/texx] y otros factores comunes con [texx]q[/texx]?.

Cita
2)  Supongamos por lo tanto que  [texx]\delta\,<\,\dfrac{q}{2}[/texx] .  Para visualizarlo establezco por ejemplo que:  [texx]\delta=0,49\,q[/texx] .  Tendremos:

[texx]z=p+q-0,49\,q[/texx]  [texx]\Rightarrow[/texx]  [texx]z=p+q\,(1-0,49)[/texx] .  Y entonces:

[texx]z^2=(p+0,51\,q)^2[/texx]  [texx]\Rightarrow[/texx]  [texx]p^2+0,2601\,q^2+1,02\,pq[/texx]

Pero esto no puede ser, porque  [texx]1,02\,pq[/texx]  es mayor que  [texx]q^2[/texx] .  Contra más pequeño (por debajo de la mitad)  sea  [texx]\delta[/texx] ,  más grande por encima de  [texx]1[/texx]  será  [texx]pq[/texx]  haciendo que:  [texx]z^2\,<\,(p+q-\delta)^2[/texx] .  Para que este factor que multiplica á  [texx]pq[/texx]  sea más pequeño que  [texx]1[/texx] ,  por fuerza  [texx]\delta\,>\,\dfrac{q}{2}[/texx]  y por lo tanto no hará entero á:  [texx]\dfrac{q}{\delta}[/texx] . 

Ahí no entiendo nada. No acabo de ver que estás usando para ese "no puede ser".

Si tienes [texx]z=p+q-\delta[/texx] (solo usando eso) da igual que valores les des obviamente también se cumple que [texx]z^2=(p+q-\delta)^2[/texx] y sólo usando eso no puedes deducir que [texx]z^2\,<\,(p+q-\delta)^2[/texx].

Saludos.
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Fernando Moreno
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« Respuesta #3 : 24/05/2018, 07:22:50 am »

Hola Luis, gracias por contestar.

No me queda claro porque dices que [texx]\delta[/texx] divide a [texx]q[/texx]. Es cierto que [texx]\delta[/texx] no divide a [texx]p[/texx] (porque el primero es par y el segundo no). Pero, ¿no podría tener [texx]\delta[/texx] algún factor común con [texx]p[/texx] y otros factores comunes con [texx]q[/texx]?.

Efectivamente [texx]\delta[/texx] tiene factores comunes con [texx]p[/texx] y con [texx]q[/texx] .  Lo había tenido en cuenta como posibilidad pero no sé porqué no vi entonces que por lo tanto no tiene porqué dividir por fuerza á  [texx]q[/texx] .  Ha sido uno de esos lapsus un poco incompresibles que tengo.

Cita
2)  Supongamos por lo tanto que  [texx]\delta\,<\,\dfrac{q}{2}[/texx] .  Para visualizarlo establezco por ejemplo que:  [texx]\delta=0,49\,q[/texx] .  Tendremos:

[texx]z=p+q-0,49\,q[/texx]  [texx]\Rightarrow[/texx]  [texx]z=p+q\,(1-0,49)[/texx] .  Y entonces:

[texx]z^2=(p+0,51\,q)^2[/texx]  [texx]\Rightarrow[/texx]  [texx]p^2+0,2601\,q^2+1,02\,pq[/texx]

Pero esto no puede ser, porque  [texx]1,02\,pq[/texx]  es mayor que  [texx]q^2[/texx] .  Contra más pequeño (por debajo de la mitad)  sea  [texx]\delta[/texx] ,  más grande por encima de  [texx]1[/texx]  será  [texx]pq[/texx]  haciendo que:  [texx]z^2\,<\,(p+q-\delta)^2[/texx] .  Para que este factor que multiplica á  [texx]pq[/texx]  sea más pequeño que  [texx]1[/texx] ,  por fuerza  [texx]\delta\,>\,\dfrac{q}{2}[/texx]  y por lo tanto no hará entero á:  [texx]\dfrac{q}{\delta}[/texx] . 

Ahí no entiendo nada. No acabo de ver que estás usando para ese "no puede ser".

Si tienes [texx]z=p+q-\delta[/texx] (solo usando eso) da igual que valores les des obviamente también se cumple que [texx]z^2=(p+q-\delta)^2[/texx] y sólo usando eso no puedes deducir que [texx]z^2\,<\,(p+q-\delta)^2[/texx].

El argumento aquí era que como  [texx]pq\,>\,q^2[/texx]  (si parto de que:  [texx]p>q[/texx] ) ;  entonces:  [texx]z\,=\,p^2+0,2601\,q^2+1,02\,pq[/texx]  sería mayor que:  [texx]z=p^2+q^2[/texx] .  Pero por otra parte claro entiendo que es incontestable que:

Si tienes [texx]z=p+q-\delta[/texx] (solo usando eso) da igual que valores les des obviamente también se cumple que [texx]z^2=(p+q-\delta)^2[/texx] y sólo usando eso no puedes deducir que [texx]z^2\,<\,(p+q-\delta)^2[/texx].

Un saludo,
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