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Autor Tema: Limit with matrices  (Leído 183 veces)
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jacks
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« : 17/05/2018, 03:35:26 am »

[texx]\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\begin{bmatrix}
 1& x/n\\\\
 -x/n& 1
\end{bmatrix}^n[/texx]
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« Respuesta #1 : 17/05/2018, 04:50:38 am »

Let:
[texx]A_n:=\begin{bmatrix}
 1& x/n\\\\
 -x/n& 1
\end{bmatrix}[/texx]

Then [texx]A_n[/texx] has by eigenvalues: [texx]\lambda_1=1-i\frac{x}{n}[/texx] and [texx]\lambda_2=1+i\frac{x}{n}[/texx]. So [texx]| \lambda_1|,| \lambda_2| \geq 1[/texx]...
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« Respuesta #2 : 17/05/2018, 05:03:56 am »

Can you please explain me what will be the answer of that question. thanks
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micabua
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« Respuesta #3 : 17/05/2018, 05:21:36 am »

Of course!

Now if [texx]x=0[/texx] then the limit is the identity matrix.

If [texx] x \neq 0[/texx] then [texx]\lambda_1 \neq \lambda_2[/texx] and there are [texx] V_1, V_2[/texx] eigenvectors. [texx] A_n [/texx] is diagonalizable and:

[texx]A_n:=\begin{bmatrix}
 1& x/n\\\\
 -x/n& 1
\end{bmatrix} = V \begin{bmatrix}
 \lambda_1 & 0\\\\
 0 & \lambda_2
\end{bmatrix}V^{-1} = V B V^{-1}[/texx].

Where [texx]V=\begin{bmatrix}
 V_1 & V_2
\end{bmatrix} [/texx] and [texx]B=\begin{bmatrix}
 \lambda_1 & 0\\\\
 0 & \lambda_2
\end{bmatrix}[/texx].

Now:

[texx](A_n)^n=(VBV^{-1})(VBV^{-1}) \cdots (VBV^{-1})[/texx], [texx] n [/texx] times.
[texx](A_n)^n=(VBV^{-1})(VBV^{-1}) \cdots (VBV^{-1})=V(B)^nV^{-1}[/texx].

And [texx]B^n=\begin{bmatrix}
 \lambda_1^n & 0\\\\
 0 & \lambda_2^n
\end{bmatrix}[/texx]

And [texx] \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}|\lambda_1|^n=\infty[/texx] because of [texx]|\lambda_1|\geq 1[/texx].

So the limit doesn't exist if [texx] x \neq 0[/texx].
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Abdulai
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« Respuesta #4 : 17/05/2018, 09:39:32 am »

[texx]\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\begin{bmatrix}
 1& x/n\\\\
 -x/n& 1
\end{bmatrix}^n[/texx]

Resolución por el método del mínimo esfuerzo:

[texx]\begin{bmatrix} 1 & x/n \\ -x/n & 1 \end{bmatrix}^n = \left(I+A \frac{x}{n}\right)^n[/texx]  con  [texx]A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}[/texx]

Notar que   [texx]A[/texx] e [texx]I[/texx]  son permutables y [texx]A^2 = -I  \,,\,A^3 = -A  \,,\, A^4 = I \,,\, ... [/texx] el mismo comportamiento que la unidad imaginaria.

Esto implica que puedo expandir aplicando el binomio de Newton y que mientras no multiplique por otras matrices los resultados operativamente son similares a usar la unidad imaginaria.

Esto es  [texx]\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{ix}{n}\right)^n = e^{ix} = \cos x + i\;\sin x[/texx]  el "well-known limit"

[texx]\therefore\quad \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\left(I+A \frac{x}{n}\right)^n = I\cos x+ A \sin x[/texx]


La demostración rigurosa sería expandir el binomio y entrar a aplicar propiedades a las sumatorias.


---------------------------
micabua:
Cita
...
And  [texx]\displaystyle\lim_{n\to\infty} |\lambda_1|^n = \infty[/texx] because of [texx]|\lambda_1|\geq 1 [/texx]
...

es incorrecto,  pues  [texx]\displaystyle\lim_{n\to\infty} \lambda_1^n = e^{-ix}[/texx]
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« Respuesta #5 : 17/05/2018, 10:55:43 am »

Thanks Moderator. please explain how we write [texx]\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\bigg(I+A\frac{x}{n}\bigg)^n=I\cos x+A\sin x[/texx]. Thanks

Thanks moderator Got it.
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« Respuesta #6 : 17/05/2018, 12:01:22 pm »


es incorrecto,  pues  [texx]\displaystyle\lim_{n\to\infty} \lambda_1^n = e^{-ix}[/texx]

Ya veo, fallo por mi parte. Muchas gracias!
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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #7 : 18/05/2018, 06:22:26 am »

En esencia, lo que voy a comentar es la propuesta de Abdulai, pero con más aparato previo. La aplicación

          [texx]f:\mathbb{C}\to M=\left\{{\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{-b}&{a}\end{bmatrix}:a,b\in \mathbb{R}}\right\},\quad f(a+bi)=\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{-b}&{a}\end{bmatrix}[/texx]

es un isomorfismo de cuerpos. Al ser [texx]\mathbb{C}[/texx] normado de dimensión finita sobre [texx]\mathbb{R}[/texx] y [texx]f[/texx] lineal, también es continua entre los espacios normados [texx](\mathbb{C}, \left |{\;}\right |)[/texx] y [texx](M, \left\|{\;}\right\|)[/texx] siendo [texx] \left\|{\;}\right\|[/texx] cualquier norma heredada de [texx]\mathbb{R}^{2\times 2}[/texx] (todas son equivalemtes). Con este bagaje teórico directamente,

          [texx]\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\begin{bmatrix}{1}&{x/n}\\{-x/n}&{1}\end{bmatrix}^n=\lim_{n\to +\infty}f\left(1+ix/n\right)^n=f\left(\lim_{n\to +\infty}\left(1+ix/n\right)^n\right)=f(e^{ix})[/texx]
          [texx]=f(\cos x+i\sin x)=\begin{bmatrix}{\cos x}&{\sin x}\\{-\sin x}&{\cos x}\end{bmatrix}.[/texx]

Recalco que es la formalización del esquema de Abdulai y que pierde la filosofía heurística de los problemas de olimpiadas.
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« Respuesta #8 : Ayer a las 12:16:08 am »

Thanks Moderator.
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