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Autor Tema: La esfera no se puede cubrir con una sola carta.  (Leído 50 veces)
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lindtaylor
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« : 17/05/2018, 03:19:49 am »

¿Por qué no es posible cubrir [texx]S^n[/texx] con una sola carta?
Sé que la contradicción viene de suponer que si se pudiera, entonces existe [texx](U,\phi) [/texx]carta tal que [texx]U=S^n [/texx]y [texx]\phi:S^n\to \phi(S^n)\subset \mathbb{R}^{n}[/texx] y como [texx]S^n[/texx] es compacto, y [texx]\phi[/texx] es un homeomorfismo, [texx]\phi(S^n) [/texx]es compacto. Mi  duda es la siguiente. ¿Siempre la imagen de una carta cualquiera [texx]\psi(V)\subset\mathbb{R}^k[/texx] es homeomorfa a [texx]R^{k}[/texx]? pues así tendría la contradicción.
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« Respuesta #1 : 17/05/2018, 05:17:16 am »

Tal como lo propones, es equivalente a probar que no existe ningún embedding topológico [texx]\phi:S^n \rightarrow \mathbb{R}^n[/texx]. Esto se sigue del teorema de invariancia del dominio: como [texx]S^n[/texx] y [texx]\mathbb{R}^n[/texx] son ambas variedades de dimensión [texx]n[/texx], [texx]\phi[/texx] debe ser una aplicación abierta. En particular, [texx]\phi(S^n)[/texx] es un abierto de [texx]\mathbb{R}^n[/texx]. Pero a la vez, tal como has dicho, debe ser compacto y por tanto cerrado. Como [texx]\mathbb{R}^n[/texx] es conexo, esto implica que [texx]\phi(S^n) = \mathbb{R}^n[/texx], es decir que [texx]S^n[/texx] y [texx]\mathbb{R}^n[/texx] son homeomorfos. Esto es claramente falso (por ejemplo, uno es compacto y el otro no).
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
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