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Autor Tema: Recta larga, localmente Euclidiana, Hausdorff pero no segundo contable.  (Leído 47 veces)
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lindtaylor
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« : 17/05/2018, 02:49:43 am »

Demuestre que la unión disjunta de una cantidad no numerable de copias de [texx]\mathbb{R}[/texx] es localmente Euclidiana, Hausdorff, pero no segundo contable.
Me gustaría probar este problema. Es el 1.2 del libro Introduction  to smooth manifolds, de John Lee.
Siguiendo la notación de este hilo https://math.stackexchange.com/questions/170183/uncountable-disjoint-union-of-mathbbr

Sea A conjunto no numerable y sea [texx]X_{\alpha}=\mathbb{R}[/texx] para cada [texx]\alpha\in A.[/texx] Sea [texx]X=\coprod_{\alpha \in A} X_{\alpha}[/texx] la unión disjunta.
X es localmente Euclidiano pues dado [texx]x\in X, x\in X_{\alpha}=\mathbb{R}[/texx] algun [texx]\alpha[/texx] y [texx]\mathbb{R}[/texx] es localmente Euclidiano. Así X lo es.
X es Hausdorff pues dados [texx]x,y\in X[/texx] distintos, [texx]x,y\in X_{\alpha},X_{\beta}[/texx] respectivamente y [texx]X_{\alpha},X_{\beta}[/texx] son Hausdorff.
¿Esta parte estaría bien?  pues tengo dudas de que haya "salido tan rápido" la solución.
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geómetracat
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« Respuesta #1 : 17/05/2018, 05:24:58 am »

Podrías dar algo más de detalle en la parte de Hausdorff pero sí, esencialmente está bien. La parte de que no es segundo numerable también es bastante directa. No es un problema muy difícil.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
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