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Autor Tema: Un punto se desplaza en el espacio  (Leído 644 veces)
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rodri
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« : 17/05/2018, 02:46:12 am »

Hola, buenas noches

Un punto se desplaza en el espacio de modo que en el instante t su posición es:
[texx]X(t) = (1-t)i+(2-3t)j+(2t-1)k[/texx]

a. Demuestre que el punto se mueve a lo largo de una recta L.
b. Halle un vector [texx]\vec{A}[/texx] paralelo a L.
c. En qué instante el punto toca un plano [texx]2x+3y+2z+1 = 0[/texx]  ?

Agregué:
d. Halle la ecuación del plano que contiene a X(3) y es paralelo a 2x+3y+2z+1= 0

Lo que hice:

[texx]X(3)=-2i-7j+4k[/texx]



No sé, lo que tengo es:

[texx]x=1-t[/texx]
[texx]y=2-3t[/texx]
[texx]z=-1+2t[/texx]

luego el vector sería [texx]v=-1i-3j+2k[/texx] y éste es el vector [texx]\vec{A}[/texx] paralelo a L  ??  :¿eh?:

Gracias!

 
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« Respuesta #1 : 17/05/2018, 01:51:42 pm »

Hola rodri. Todo dependerá de los conceptos previos que tengas.

a) la ecuación dada puedes reescribirla como

    [texx](x,y,z)=(1,2,-1)+t(-1,-3,2)[/texx]

o equivalentemente

    [texx]\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z+1}{2}[/texx]

o también

    [texx]\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2-3t\\ z=-1+2t\end{array}\right.[/texx]

Todas son ecuaciones de (la misma) recta. Así que para verificar que es una recta tendrás que escribirla en la forma que hayas visto en clases.

b) El vector director de la recta es [texx](-1,-3,2)[/texx].

c) La pregunta es cuándo se satisface la ecuación del plano que te dan y de la recta. Así que debes resolver el sistema de ecuaciounes (dos ecuaciones) y concluir.

d) El vector norlmal al plano dado es [texx]n=(2,3,2)[/texx], así que el plano que te piden tendrá ese mismo vector normal. Además cumplirá

    [texx](x-a,y-b,z-c)\cdot n=0[/texx]

donde [texx](a,b,c)[/texx] es el punto dado.
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rodri
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« Respuesta #2 : 17/05/2018, 06:36:48 pm »

Hola, gracias

a) Podría escribirla así:

[texx]xi+yj+zk=i+2j-k+t(-i-3j+2k)[/texx] 

Está bien?

b) No sé cómo hallar un vector paralelo, en el libro de Grossman dice que un vector paralelo a L es un representante [texx]\vec{PQ}[/texx]  siendo P y Q puntos de la recta, y dice que por tanto:

[texx]v=(x_{2}-x_{1})i + (y_{2}-y_{1})j + (z_{2}-z_{1})k[/texx]  es un vector paralelo a L.

Entonces sería [texx]v=-i-3j+2k[/texx] pero lo multiplico con un escalar cualquiera diferente de cero, por ejemplo, 2.

Sería [texx]v=-2i-6j+4k[/texx] éste un vector paralelo a L.

Sí?

Gracias
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« Respuesta #3 : 17/05/2018, 06:50:16 pm »

Hola, gracias

a) Podría escribirla así:

[texx]xi+yj+zk=i+2j-k+t(-i-3j+2k)[/texx] 

Está bien?


Es lo mismo que escribí (la primera opción, pero escrita componente a componente), ¿no?


a) la ecuación dada puedes reescribirla como

    [texx](x,y,z)=(1,2,-1)+t(-1,-3,2)[/texx]

o equivalentemente

    [texx]\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z+1}{2}[/texx]

o también

    [texx]\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2-3t\\ z=-1+2t\end{array}\right.[/texx]

Todas son ecuaciones de (la misma) recta. Así que para verificar que es una recta tendrás que escribirla en la forma que hayas visto en clases.



b) No sé cómo hallar un vector paralelo, en el libro de Grossman dice que un vector paralelo a L es un representante [texx]\vec{PQ}[/texx]  siendo P y Q puntos de la recta, y dice que por tanto:

[texx]v=(x_{2}-x_{1})i + (y_{2}-y_{1})j + (z_{2}-z_{1})k[/texx]  es un vector paralelo a L.

Entonces sería [texx]v=-i-3j+2k[/texx] pero lo multiplico con un escalar cualquiera diferente de cero, por ejemplo, 2.

Sería [texx]v=-2i-6j+4k[/texx] éste un vector paralelo a L.


Claro. Considera la recta [texx](x,y,z)=(x_0,y_0,y_0)+t(a,b,c)[/texx], con [texx]t\in\mathbb{R}[/texx], donde [texx](x_0,y_0,z_0)[/texx] es cualquier punto perteneciente a la recta (cuando [texx]t=0[/texx]). Se dice que [texx]n=(a,b,c)[/texx] es el vector director de la recta. También la puedes escribir la recta como:

     [texx](x-x_0,y-y_0,z-z_0)=t(a,b,c)[/texx]

Recuerda que dos vectores [texx]u[/texx] y [texx]v[/texx] se dicen paralelos si [texx]u=\alpha v[/texx] para algún real [texx]\alpha[/texx].

Eso deja en evidencia que el vector  [texx](x-x_0,y-y_0,z-z_0)[/texx]  es paralelo al vector director de la recta [texx](a,b,c)[/texx]. Es decir, el vector director de la recta es paralelo a la recta (tiene la misma dirección) y por eso el nombre.

Entendido eso, el vector [texx](2,3,2)[/texx] (o cualquier múltiplo de él, como [texx]2(2,3,2)=(4,6,4)[/texx] o [texx]-3(2,3,2)=(-6,-9,-6)[/texx] también era posibles respuestas (porque no insteresa sólo la dirección del vector, no su sentido o magnitud).

Te sugiero que, antes de seguir haciendo ejercicios, tomes el libro y entiendas las teoría y los ejemplos que trae.

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« Respuesta #4 : 17/05/2018, 08:59:24 pm »

Hola, gracias

a) La ecuación general de la recta sería:

[texx]3x-y-1=0[/texx]
[texx]2x+z-1=0[/texx]

entonces para resolver el punto c) resuelvo este sistema de ecuaciones y me dará un punto, o infinitos, y lo reemplazo en la ecuación del plano?

Sí estoy leyendo, solo me confundo mucho

Gracias
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« Respuesta #5 : 18/05/2018, 01:51:27 pm »

Hola, buenos días

Quisiera saber si lo que hice está bien:

c) La ecuación de la recta L es

[texx]3x-y-1=0[/texx]
[texx]2x+z-1=0[/texx]

Resolviendo este sistema tengo que [texx]x-\displaystyle\frac{y}{3}=\displaystyle\frac{1}{3}[/texx]  y  [texx]\displaystyle\frac{2}{3}y+z=\displaystyle\frac{1}{3}[/texx]

le doy un valor a z, z=0 para encontrar un punto, luego:
[texx]x=\displaystyle\frac{1}{2}[/texx]
[texx]y=\displaystyle\frac{1}{2}[/texx]
y [texx]z=0[/texx]

tengo el punto [texx](\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{2},0)[/texx]

reemplazo en la ecuación que me dan:

[texx]2(\displaystyle\frac{1}{2})+3(\displaystyle\frac{1}{2})+2(0)+1=\displaystyle\frac{7}{2}[/texx]  :¿eh?:


d) Teniendo [texx]X(3)=-2i-7j+5k[/texx]  y el vector normal al plano dado n=(2,3,2) procedo a escribir la ecuación que me piden:

[texx](x+2,y+7,z-5).(2,3,1)=0[/texx]

[texx]2(x+2)+3(y+7)+2(z-5)=0[/texx]

y el plano es  [texx]2x+3y+2z+15=0[/texx]  sí?

Muchas gracias
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« Respuesta #6 : 18/05/2018, 08:25:10 pm »

a) La ecuación general de la recta sería:

[texx]3x-y-1=0[/texx]
[texx]2x+z-1=0[/texx]

No entendí lo que hiciste para la parte a). La respuesta ya está dada:

a) la ecuación dada puedes reescribirla como

    [texx](x,y,z)=(1,2,-1)+t(-1,-3,2)[/texx]

o equivalentemente

    [texx]\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-3}=\dfrac{z+1}{2}[/texx]

o también

    [texx]\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2-3t\\ z=-1+2t\end{array}\right.[/texx]

Todas son ecuaciones de (la misma) recta. Así que para verificar que es una recta tendrás que escribirla en la forma que hayas visto en clases.





entonces para resolver el punto c) resuelvo este sistema de ecuaciones y me dará un punto, o infinitos, y lo reemplazo en la ecuación del plano?

Sí estoy leyendo, solo me confundo mucho

Gracias

Hola, buenos días

Quisiera saber si lo que hice está bien:

c) La ecuación de la recta L es

[texx]3x-y-1=0[/texx]
[texx]2x+z-1=0[/texx]

Resolviendo este sistema tengo que [texx]x-\displaystyle\frac{y}{3}=\displaystyle\frac{1}{3}[/texx]  y  [texx]\displaystyle\frac{2}{3}y+z=\displaystyle\frac{1}{3}[/texx]

le doy un valor a z, z=0 para encontrar un punto, luego:
[texx]x=\displaystyle\frac{1}{2}[/texx]
[texx]y=\displaystyle\frac{1}{2}[/texx]
y [texx]z=0[/texx]

tengo el punto [texx](\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{2},0)[/texx]

reemplazo en la ecuación que me dan:

[texx]2(\displaystyle\frac{1}{2})+3(\displaystyle\frac{1}{2})+2(0)+1=\displaystyle\frac{7}{2}[/texx]  :¿eh?:


El punto es: [texx](x,y,z)=(1-t,2-3t,-1+2t)[/texx]  para todo [texx]t\in\mathbb{R}[/texx]. El punto pertenece al plano cuando satisface la ecuación del plano, por lo que

    [texx]2x+3y+2z+1=0[/texx]

    [texx]2(1-t)+3(2-3t)+2(-1+2t)+1=0[/texx]

y despejando obtenemos [texx]t=1[/texx]. Es decir, el punto [texx]X(1)=(1-1,2-3,-1+2)=(0,-1,1)[/texx] pertenece al plano.


d) Teniendo [texx]X(3)=-2i-7j+5k[/texx]  y el vector normal al plano dado n=(2,3,2) procedo a escribir la ecuación que me piden:

[texx](x+2,y+7,z-5).(2,3,1)=0[/texx]

[texx]2(x+2)+3(y+7)+2(z-5)=0[/texx]

y el plano es  [texx]2x+3y+2z+15=0[/texx]  sí?

Muchas gracias

La parte d) está correcta.
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« Respuesta #7 : 18/05/2018, 11:45:12 pm »

Buenas noches

Las ecuaciones de la recta

[texx]3x-y-1=0[/texx]
[texx]2x+z-1=0[/texx]

Procedí de la siguiente manera, que la verdad espero esté bien:

De las ecuaciones simétricas [texx]\displaystyle\frac{x-1}{-1}=\displaystyle\frac{y-2}{-3}=\displaystyle\frac{z+1}{2}[/texx]

Tomo las dos primeras:  [texx]\displaystyle\frac{x-1}{-1}=\displaystyle\frac{y-2}{-3}[/texx] es lo que me da [texx]3x-y-1=0[/texx]

Ahora tomo la primera con la tercera:  [texx]\displaystyle\frac{x-1}{-1}=\displaystyle\frac{z+1}{2}[/texx] de donde sale [texx]2x+z-1=0[/texx]

Y así se tiene la ecuación general de la recta.


Sí es así? o ¿cómo hallo la ecuación general o implícita?

Muchas gracias
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« Respuesta #8 : 19/05/2018, 12:37:52 am »

Las ecuaciones de la recta

[texx]3x-y-1=0[/texx]
[texx]2x+z-1=0[/texx]


Es correcto.

Para estar seguros, como sabemos que por dos puntos pasa una única recta, toma dos puntos, por ejemplo:

    [texx]X(0)=(1,2,-1)[/texx]  y  [texx]X(1)=(0,-1,1)[/texx].

Como ambos puntos satisfacen las dos ecuaciones que escribiste, entonces tu resultado está ok.

Me parece rara la forma en que escribes la recta. Nota que lo que escribiste son dos planos (cada ecuación que escribiste es un plano) cuya intersección es la recta pedida. Quizás en el contexto que estás estudiando la forma en que lo escribiste es la más apropiada, pero para mí es sólo una forma de complicarnos la vida.

¿cómo hallo la ecuación general o implícita?

Claramente la forma en que necesitas los resultados no es la misma que conozco yo, así que para no liarnos, dinos qué forma debe tener la ecuación general o implícita que necesitas y vemos como llegar a ella.
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« Respuesta #9 : 19/05/2018, 01:12:55 am »

Hola, buenas noches

Es solo que en algunos ejercicios (realmente muy pocos) relacionados con ecuaciones simétricas, paramétricas, piden hallar la ecuación general de la recta, así que buscando encontré que esa era la forma, pero en el libro que estoy estudiando no aparece, ni en clases creo que nunca vi esta forma.

Por eso preguntaba si estaba bien y si así era la forma...

Muchas gracias

Saludos
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« Respuesta #10 : 19/05/2018, 04:59:27 pm »

Te recomiendo pedir los apuntes de clases completos y ver en qué forma quiere el profesor las respuesta. Creo que es menos trabajo que andar buscando información en Internet, porque seguro hay mucho más información de la que necesitas.
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