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Autor Tema: Ejercicio de divisibilidad de anillos.  (Leído 628 veces)
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Juan Sánchez
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« : 16/05/2018, 08:46:16 pm »

Hola,

Sea el anillo [texx]R=\left\{{a+b\sqrt[ ]{-3}}\right\}[/texx] tal que [texx]a,b\in{\mathbb{Z}}[/texx]. Con la norma [texx]N(a+b\sqrt[ ]{-3}=a^2+3b^2[/texx]

Tengo que demostrar que:

[texx]z=2,w=1+\sqrt[ ]{-3}[/texx] son irreductibles: Por [texx]z[/texx], suponiendo que [texx]z=xy[/texx], tomando norma, tengo que [texx]4=N(2)=N(x)N(y)[/texx] (no existen números naturales [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] tal que [texx]2=a^2+3b^2[/texx]), ya que la norma es multiplicativa. De aqui sigue que o [texx]N(x)=1[/texx] o [texx]N(y)=1[/texx], por lo que [texx]z[/texx] es irreductible. Se hace lo mismo con [texx]w[/texx].

Demuestra que [texx]1[/texx] es mcd de [texx]z[/texx] y [texx]w[/texx]. Si lo fuera, entonces cualquier a tal que [texx]2=a*x[/texx] y [texx]1+\sqrt[ ]{-3}=a*y[/texx] tendría que dividir [texx]1[/texx], es decir, a tendria que ser invertible. Pero [texx]z[/texx] y [texx]w[/texx] son irreductibles, por lo que si [texx]z=a*x[/texx] entonces o [texx]a[/texx] es invertible o [texx]x[/texx] es invertible. Lo mismo con [texx]w[/texx]. Por lo tanto [texx]1[/texx] es mcd de [texx]z[/texx] y [texx]w[/texx].

Es correcto?

Ahora hay un apartado más que no sé hacer: Cómo puedo demostrar que [texx]z[/texx] y [texx]w[/texx] no tienen mcm? Cumplen [texx]z[/texx] y [texx]w[/texx] alguna identidad de Bezout?

Saludos
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geómetracat
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« Respuesta #1 : 17/05/2018, 06:32:11 am »

Me parece correcto.

Sobre el mcm, puedes ver que tanto [texx]4[/texx] como [texx]2+2\sqrt{-3}[/texx] son múltiplos comunes de [texx]z,w[/texx]. Por tanto, si existiera un mcm, digamos [texx]m[/texx], deberías tener [texx]m \mid 4, m \mid 2 + 2 \sqrt{-3}[/texx]. Pero no es muy difícil ver que eso implica que [texx]m=2[/texx] o [texx]m=1+\sqrt{-3}[/texx], salvo asociados. Por tanto, no puede haber mcm.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
Juan Sánchez
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« Respuesta #2 : 17/05/2018, 09:42:37 am »

Creo que lo entiendo (aunque se me sigue haciendo muy extraño que pueda haber un común múltiplo pero no un mcm). Aún así tengo una duda, no sería suficiente tomar el común múltiplo [texx]2+2\sqrt[ ]{-3}[/texx]? Como [texx]2+2\sqrt[ ]{-3}=2(1+\sqrt[ ]{-3})[/texx] entonces [texx]m|2[/texx] y [texx]m|[/texx][texx]1+\sqrt[ ]{-3}[/texx], por lo que igualmente llego a la conclusión que [texx]m=2[/texx] o [texx]m=1+\sqrt[ ]{-3}[/texx], y esta [texx]m[/texx] no existe.

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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 24/05/2018, 06:38:12 am »

Hola

Creo que lo entiendo (aunque se me sigue haciendo muy extraño que pueda haber un común múltiplo pero no un mcm). Aún así tengo una duda, no sería suficiente tomar el común múltiplo [texx]2+2\sqrt[ ]{-3}[/texx]? Como [texx]2+2\sqrt[ ]{-3}=2(1+\sqrt[ ]{-3})[/texx] entonces [texx]m|2[/texx] y [texx]m|[/texx][texx]1+\sqrt[ ]{-3}[/texx], por lo que igualmente llego a la conclusión que [texx]m=2[/texx] o [texx]m=1+\sqrt[ ]{-3}[/texx], y esta [texx]m[/texx] no existe.

Pero, ¿cómo estás justificando la afirmación en rojo?.

Saludos.
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Juan Sánchez
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« Respuesta #4 : 24/05/2018, 01:32:10 pm »

Porque [texx]2+2\sqrt[ ]{-3}=2(1+\sqrt[ ]{-3})[/texx]. [texx]2[/texx] Es un divisor de [texx]2+2\sqrt[ ]{-3}
[/texx]
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Luis Fuentes
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« Respuesta #5 : 25/05/2018, 06:12:36 am »

Hola

Porque [texx]2+2\sqrt[ ]{-3}=2(1+\sqrt[ ]{-3})[/texx]. [texx]2[/texx] Es un divisor de [texx]2+2\sqrt[ ]{-3}
[/texx]

Pero del mcm [texx]m[/texx] lo que sabemos es que divide a cualquier múltiplo común de, en nuestro caso, [texx]z=2[/texx] y [texx]w=1+\sqrt{-3}[/texx]. Entonces [texx]2+2\sqrt{-3}[/texx] es múltiplo común de [texx]z[/texx] y [texx]w[/texx] y por tanto es cierto que [texx]m|2+2\sqrt{-3}[/texx]. Pero de ahí no se deduce que "entonces [texx]m|2[/texx] y [texx]m|[/texx][texx]1+\sqrt[ ]{-3}[/texx]". Por ejemplo simplemente podría ocurrir (usando sólo lo que menciono) que [texx]m=2+2\sqrt{-3}[/texx].

Saludos.
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