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Autor Tema: Norma canónica de operadores.  (Leído 246 veces)
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Wimet
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« : 16/05/2018, 06:27:53 pm »

Tengo un poco de lío y confusión acerca de una definición. Sea [texx]L(X,Y)[/texx] el conjunto de operadores lineales y continuos. Si [texx]T\in{L(X,Y)}[/texx], sabemos que una equivalencia a su continuidad es que existe una constante [texx]c>0[/texx] tal que [texx]||T(x)||\leq{c||x||}[/texx], pero ahora si nos remitimos a la definición de la noma canónica de operadores, tenemos que:

[texx]||T||=ínf[c\geq{0}:||T(x)||\leq{c||x||}][/texx]

Me choca porque por un lado una puede ser 0 y por la otra no. Como he visto muchas demostraciones en las que se puede bajar al denominador [texx]||T||[/texx], para acotar una cosa u otra, sin ninguna restricción; pues mi pregunta es que si podemos manejar algebraicamente esta norma, será porque no es 0, pero eso entra en contradicción con la definición de la misma que sí alcanza 0.

Donde está el error?

Saludos
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julius
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« Respuesta #1 : 16/05/2018, 06:40:05 pm »

Yo no veo que haya ningún error. En las demostraciones en las que veas que se pone la norma en los denominadores, será que tienes la hipótesis de que [texx]T\not=0[/texx].
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mathtruco
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El gran profesor inspira


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« Respuesta #2 : 16/05/2018, 06:54:19 pm »

Hola. Al ser una norma, el único elemento [texx]T[/texx] que tiene norma cero es el operador nulo. Así que ese ínfimo que señalas sólo será cero para el operador nulo.

En muchos sitios he visto que escriben cosas como

    [texx]\|T\|=\displaystyle\sup_{x\in X}\dfrac{\|T(x)\|}{\|x\|}[/texx]

sobreentendiendo que no se está considerando [texx]x=0[/texx], o también

    [texx]\|x\|=\displaystyle\sup_{T\in L(X,Y)}\dfrac{\|T(x)\|}{\|T\|}[/texx]

cuando en estricto rigor debieran haber escrito

    [texx]\|x\|=\displaystyle\sup_{T\in L(X,Y)\setminus\{0\}}\dfrac{\|T(x)\|}{\|T\|}[/texx].

Así que donde veas que hacen algo así debes cerciorarte que el caso cero es trivial. Seguramente en alguna parte del texto que estás revisando avisan de este abuso.
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