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Autor Tema: Lugares geométrico a dos rectas que se cortan.  (Leído 213 veces)
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moliere
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« : 16/05/2018, 03:40:40 pm »

1. Hallar el lugar geométrico de un punto la suma de cuya distancias a dos rectas dadas que se cortan sea constante.
2. Hallar el lugar geométrico de un punto la diferencia de cuya distancias a dos rectas  dadas que se cortan sea constante.
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« Respuesta #1 : 16/05/2018, 07:14:48 pm »

Hay algo raro en la redacción, revísala.

Si el problema 1 consiste en Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias entre dicho punto y dos rectas dadas que se cortan sea constante, la solución consistiría en aplicar la fórmula de distancia de un punto a un plano a una recta

    [texx]\dfrac{|m_1x-y+b_1|}{\sqrt{m_1^2+1}}+\dfrac{|m_2x-y+b_2|}{\sqrt{m_2^2+1}}=C[/texx]        (*)

donde

    [texx]L_1:y=m_1x+b_1[/texx]  y

    [texx]L_2:y=m_2x+b_2[/texx]

son las rectas dadas, y [texx]C[/texx] la constante fija. Considerando que ambos términos en valor absoluto en la ecuación (*) son positivos obtenemos:

    [texx]\left( \dfrac{m_1}{\sqrt{{m_1}^{2}+1}}+\dfrac{m_2}{\sqrt{{m_2}^{2}+1}}\right) \,x−\left( \dfrac{1}{\sqrt{{m_1}^{2}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{{m_2}^{2}+1}}\right) \,y+\dfrac{b_1}{\sqrt{{m_1}^{2}+1}}+\dfrac{b_2}{\sqrt{{m_2}^{2}+1}}-C=0[/texx]

la cual es (para mi sorpresa) una recta. Faltaría darte los otros posibles casos de signos que tienen los términos dentro del valor absoluto.
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« Respuesta #2 : 16/05/2018, 08:42:00 pm »

No sé sobre lo que escribiste. El problema es sin fórmulas, solo se necesita trazar el lugar geométrico según las datos dados y lo pedido.
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« Respuesta #3 : 17/05/2018, 12:57:35 pm »

Como se utiliza la distancia entre un punto y una recta, seguramente has visto en clases la fórmula de la recta, la distancia entre puntos, y la distancia entre un punto y una recta. Esta última fue la que apliqué.

Cuando dicen "halle el lugar geométrico" normalmente uno halla un conjunto de puntos [texx]\{(x,y):\textrm{ alguna formula }\}[/texx], y normalmente lo que uno halla es una curva. En este caso el lugar geométrico pedido sería una recta.

Revisa la redacción de tus problemas. Eso de "la suma" no queda claro la suma de qué.

1. Hallar el lugar geométrico de un punto la suma de cuya distancias a dos rectas dadas que se cortan sea constante.
2. Hallar el lugar geométrico de un punto la diferencia de cuya distancias a dos rectas  dadas que se cortan sea constante.

Obs: hice una pequeña corrección a mi anterior mensaje, en vez de "distancia entre un punto y un plano" debía decir "distancia entre un punto y una recta".
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moliere
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« Respuesta #4 : 21/05/2018, 03:34:14 pm »

Sí, tienes razón, así debieron quedar:
1. Hallar el lugar geométrico de los puntos P cuya suma de distancias a dos rectas concurrentes dadas  es una constante dada.
2. Hallar el lugar geométrico de los puntos R cuya diferencia a dos rectas concurrentes dadas es una constante dada.

La primera solución es el perímetro de un rectángulo que tiene por diagonales las rectas concurrentes dadas. La segunda es  las prolongaciones de los lados de un rectángulo que tiene las rectas concurrentes dadas por diagonales.
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