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Autor Tema: Esfera en un cono, volumen máximo  (Leído 205 veces)
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Farifutbol
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« : 16/05/2018, 02:16:19 pm »

Elige el diámetro de una esfera de modo que, al introducirla en una copa con forma cónica de profundidad h y ángulo cónico [texx]2a [/texx] que esté llena de agua, se derrame la mayor cantidad de líquido posible.
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martiniano
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« Respuesta #1 : 17/05/2018, 05:55:52 am »

Hola, buenas.
No consigo leer cuál es el ángulo cónico, pero bueno.
¿Has intentado resolver el problema con lo de los multiplicadores de Lagrange?
Saludos.
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delmar
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« Respuesta #2 : 18/05/2018, 01:11:27 am »

Hola

Suponiendo que la esfera, que se introduce  en la copa cónica de profunidad h y ángulo cónico 2a, es de un material mas denso que el agua y entra totalmente dentro de la copa, se tiene que llegará siempre a una situación, como la mostrada en el esquema, donde se muestra a la esfera y a la copa cortadas por un plano que pasa por su eje común de simetría :



La esfera siempre toma contacto con la copa, es tangente al cono. Considerando una referencia XY como la mostrada, se tiene que el centro de la esfera es  C (0,y) y su radio [texx]r=y sen(a)[/texx]. El volumen del agua derramada V es igual al volumen de la esfera introducida, en consecuencia [texx]V(y)=\displaystyle\frac{4 \ \pi}{3}r^3=\displaystyle\frac{4 \ \pi}{3} \ (y \ sen(a))^3, \ 0\leq{y}\leq{L}[/texx] , donde L es el máximo valor que puede tomar  la ordenada de C, más alla de ese valor , no toda la esfera esta sumergida, es decir la esfera no esta totalmente introducida dentro de la copa. L se obtiene de la siguiente relación : [texx]L+L \ sen(a)=h\Rightarrow{L=\displaystyle\frac{h}{1+sen(a)}}[/texx], muestro un segundo esquema en donde se visualiza L, como archivo adjunto.



V es una función creciente respecto a y, luego el V máximo ocurrirá cuando y=L y en ese caso se puede calcular el radio y diámetro respectivo.

Saludos

* esferaconomaxA.jpg (37.16 KB - descargado 66 veces.)
* esferaconomaxB.jpg (39.26 KB - descargado 66 veces.)
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martiniano
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« Respuesta #3 : 18/05/2018, 03:26:57 am »

Hola buenas.
No estoy del todo de acuerdo con tu solución.
Según entiendo yo el problema a  la esfera le puede quedar una parte fuera del agua y desalojar más volumen que en la solución que tú propones.
No digo que vaya a ser así, pero diría que no es algo evidente y que habría que demostrarlo.
Cuando tenga algo más de tiempo intento yo algo y lo subo.
Saludos.
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martiniano
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« Respuesta #4 : 19/05/2018, 02:34:31 am »

Buenos días.
Aquí está lo que hubiese hecho yo:


Del dibujo sacamos la relación:
[texx]d=h-\displaystyle\frac{R}{sin\alpha}+R[/texx]

De donde se puede despejar R y substituirla en la siguiente fórmula, que es el volumen de un casquete esférico, el agua que se desplaza al introducir la esfera en el cono:
[texx]V=\displaystyle\frac{\pi d^2}{3}(3R-d)[/texx]

Derivamos la expresión resultante, la igualamos a 0, despejamos, simplificamos... Y a mí me ha quedado esto:
[texx]R=\displaystyle\frac{h \cdot{}sin\alpha}{cos2\alpha + sin\alpha}[/texx]

Espero no haberme equivocado en ningún paso. Saludos.

* Geogebra_Vacio_1.png (156.89 KB - descargado 55 veces.)
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delmar
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« Respuesta #5 : 19/05/2018, 11:28:21 pm »

martiniano, entiendo la forma como ves el enunciado, es una posibilidad, por eso es que remarque la solución que puse con: Suponiendo que la esfera, que se introduce  en la copa cónica de profunidad h y ángulo cónico 2a, es de un material mas denso que el agua y entra totalmente dentro de la copa

Tu entras a considerar el caso más general  en que : la esfera no necesariamente ha de estar completamente sumergida, es más complicado analizarlo. La primera ecuación que has puesto es básica y correcta; y de ahí parto; pero utilizando lo que ya he definido, las respuestas han de coincidir :

[texx]d=r+h-y=ysen(a)+h-y, \ L\leq{y}\leq{L'}[/texx], donde L', es la ordenada de C (centro de la esfera) cuando la esfera es tangente al cono en los puntos A y B, más alla de L' el volumen desplazado decrece, el segmento circular sumergido disminuye. Entonces hay que averiguar ¿Cuál es el máximo entre [texx][L,L'][/texx]?

[texx]V(y)=\displaystyle\frac{\pi}{3} \ d^2 \ (3r-d)=\displaystyle\frac{\pi}{3} \ (ysen(a)+h-y)^2 \ (3 \ ysen(a)-(ysen(a)+h-y))=\displaystyle\frac{\pi}{3} \ (ysen(a)+h-y)^2 \ (2 \ ysen(a)-h+y)[/texx]

Derivando e igualando a cero  :

[texx]V'(y)=\displaystyle\frac{\pi}{3} \ ((ysen(a)+h-y)^2 \ (2 \ sen(a)+1)+2 \ (ysen(a)+h-y) \ (sen(a)-1) \ (2 \ ysen(a)-h+y))=0[/texx]

Hay dos puntos críticos :


[texx]ysen(a)+h-y=0\Rightarrow{y_1=\displaystyle\frac{h}{1-sen(a)}}[/texx]

Este punto crítico esta fuera del rango de validez de la fórmula que he puesto es decir : [texx]y_1>L'[/texx]

El otro resulta de simplificar : [texx](ysen(a)+h-y) \ (2 \ sen(a)+1)+2 \ (sen(a)-1) \ (2 \ ysen(a)-h+y)=0\Rightarrow{y_2=\displaystyle\frac{h}{(1-sen(a)) \ (2sen(a)+1)}}[/texx]

Este valor es válido. El radio [texx]r_2=\displaystyle\frac{h \sen(a)}{(1-sen(a)) \ (2sen(a)+1)}=\displaystyle\frac{h \ sen(a)}{cos(2a)+sen(a)}[/texx], coincide con tu respuesta.

Luego se tiene que demostrar que el volumen desplazado por esta esfera con radio [texx]r_2[/texx]  es el mayor  volumen desplazado, es decir que es mayor que el volumen que di en mi primera respuesta es decir considerando a la esfera totalmente sumergida y en efecto se demuestra.


Saludos.
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martiniano
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« Respuesta #6 : 20/05/2018, 02:30:31 am »

Hola delmar, buenos días. Gracias por poner todos los pasos. Algo así había hecho yo también.

martiniano, entiendo la forma como ves el enunciado, es una posibilidad, por eso es que remarque la solución que puse con: Suponiendo que la esfera, que se introduce  en la copa cónica de profunidad h y ángulo cónico 2a, es de un material mas denso que el agua y entra totalmente dentro de la copa

Tu entras a considerar el caso más general  en que : la esfera no necesariamente ha de estar completamente sumergida, es más complicado analizarlo. La primera ecuación que has puesto es básica y correcta; y de ahí parto; pero utilizando lo que ya he definido, las respuestas han de coincidir :

Creo que en esto hay cosillas erróneas. Tú mismo dices haber demostrado que los volúmenes de ambas soluciones no coinciden. Date cuenta de que yo también he considerado que la esfera es más densa que el agua y que, por tanto, acaba estando tangente al cono en una circunferencia. Sin embargo, esta consideración no impide que la esfera quede parcialmente fuera del agua debido a su tamaño, y diría que es a esto último a lo que se debe que nuestras soluciones no coincidan.

Saludos. :guiño:
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