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Autor Tema: Sobre la recta real con dos estructuras suaves distintas.  (Leído 68 veces)
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lindtaylor
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« : 15/05/2018, 11:20:56 pm »

Sea [texx]\mathbb{R}[/texx] la recta real con su estructura suave estandar (es decir, con el atlas[texx] \left\{(\mathbb{R}, id)\right\}[/texx], y sea [texx]\bar{\mathbb{R}}[/texx] denotando la misma variedad topológica con la estructura suave dada por el atlas [texx]\left\{(\mathbb{R}, \psi)\right\} [/texx]donde[texx] \psi(x)=x^3[/texx].

Sea [texx]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/texx] una función que es suave en el sentido usual.
a) Demuestre que f es también suave  como una función entre variedades de [texx]\mathbb{R}[/texx] a [texx]\bar{\mathbb{R}}.[/texx]
b) Demuestre que f también es suave como una función de [texx]\bar{\mathbb{R}} a \mathbb{R}[/texx] si y sólo si[texx] f^{(n)}(0)=0 [/texx]cuando n no es un múltiplo de 3.

Tengo una duda:

para ver que f es suave entre variedades, se debe ver que la función [texx]\psi\circ f\circ id^{-1}:id(\mathbb{R})\to \psi(\mathbb{R})[/texx] es un difeomorfismo. Tengo que [texx]\psi\circ f \circ id^{-1}(x)=(f(x))^3[/texx] y ésta función no logro ver que es un difeomorfismo pues su inversa podría no ser diferenciable en el 0.

¿Se necesitará alguna hipótesis adicional sobre f para la parte a)?

pd: Me había confundido con el concepto de difeomorfismo con función suave

para b) [texx]idf\psi^{-1}(x)=f(x^{1/3})[/texx] y luego [texx](f(x^{1/3}))'=f'(x^{1/3}) \dfrac{1}{3x^{2/3}}[/texx] y no veo por qué esto debería ser 0 en x=0. Para esto hice lo siguiente:[texx] f(x^{1/3})=F(x) [/texx]entonces [texx]f(y)=F(y^3)[/texx], y tengo que [texx]F(y^3)[/texx] es suave pues f lo es. Ahora [texx]f'(y)=F'(y^3)3y^2[/texx] y me gustaría ver que [texx]F'(0)[/texx] me dá un número real (no infinito) para así concluir que [texx]f'(y)=F'(0)0=0[/texx]
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 16/05/2018, 06:32:31 am »

Hola

para b) [texx]idf\psi^{-1}(x)=f(x^{1/3})[/texx] y luego [texx](f(x^{1/3}))'=f'(x^{1/3}) \dfrac{1}{3x^{2/3}}[/texx] y no veo por qué esto debería ser 0 en x=0. Para esto hice lo siguiente:[texx] f(x^{1/3})=F(x) [/texx]entonces [texx]f(y)=F(y^3)[/texx], y tengo que [texx]F(y^3)[/texx] es suave pues f lo es. Ahora [texx]f'(y)=F'(y^3)3y^2[/texx] y me gustaría ver que [texx]F'(0)[/texx] me dá un número real (no infinito) para así concluir que [texx]f'(y)=F'(0)0=0[/texx]

Siguiendo esa idea para la condición necesaria. Suponiendo que [texx]F[/texx] es diferenciable.

[texx]f(y)=F(y^3)[/texx].
[texx]f'(y)=3y^2F'(y^3)=y^2(3F'(y^3))[/texx]
[texx]f''(y)=9y^4F''(y^3)+6yF'(y^3)=y(9y^3F''(y^3)+6F'(y^3))[/texx]
[texx]f'''(y)=27y^6F'''(y^3)+54y^3F''(y^2)+6F'(y^3)[/texx]

Ahora puedes probar por inducción que:

[texx]f^{3k-r)}(y)=y^{r}G_{3k-r}(y^3)[/texx], [texx]r=0,1,2[/texx] donde [texx]G_{3k-r}[/texx] es una cierta función diferenciable.

Esto prueba que una condición necesaria es que [texx]f^{n)}(0)=0[/texx] siempre que [texx]n[/texx] no sea múltiplo de [texx]3[/texx].

Saludos.
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