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Autor Tema: Problema de puntos en un plano  (Leído 244 veces)
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karenT
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« : 15/05/2018, 09:55:13 pm »

Saludos

Quisiera solicitar su ayuda con el siguiente problema, llevo días a torada y no se como continua, he aplicado propiedades de la norma pero no llego a algún resultado que me de información.

Sea A un vector no nulo, c un número y Q un punto. Se R el punto de intersección de la recta que pasa por Q en la dirección de A con el plano [texx]X\cdot{A}=c[/texx].

Demostrar que para todos los puntos P del plano se tiene que [texx] \left\|{Q-R}\right\|\leq{ \left\|{Q-P}\right\|}[/texx]

Agradezco sus sugerencias y comentarios.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 16/05/2018, 05:14:38 am »

Hola

Saludos

Quisiera solicitar su ayuda con el siguiente problema, llevo días a torada y no se como continua, he aplicado propiedades de la norma pero no llego a algún resultado que me de información.

Sea A un vector no nulo, c un número y Q un punto. Se R el punto de intersección de la recta que pasa por Q en la dirección de A con el plano [texx]X\cdot{A}=c[/texx].

Demostrar que para todos los puntos P del plano se tiene que [texx] \left\|{Q-R}\right\|\leq{ \left\|{Q-P}\right\|}[/texx]

Agradezco sus sugerencias y comentarios.

El punto [texx]R[/texx] es la proyección ortogonal sobre el plano del punto [texx]Q[/texx]; la propiedad que tienes que probar es que éste es el punto más cercano.

Ahora el vector [texx]\vec{PR}[/texx] y el vector [texx]\vec{RQ}[/texx] son perpendiculares: Fíjate que [texx]\vec{RQ}[/texx] es paralelo a [texx]\vec A[/texx] (porque la recta [texx]RQ[/texx] tiene la dirección de [texx]A[/texx]).

Entonces:

[texx]\vec{PR}\cdot \vec {RQ}=\vec {PR}\cdot \lambda\vec A=\lambda(R\cdot A-P\cdot A)=\lambda(c-c)=0[/texx]

Por el Teorema de Pitágoras:

[texx]\|\vec{QP}\|^2=\|\vec{QR}+\vec{RP}\|^2=\|\vec{QR}\|^2+\|\vec{RP}\|^2\geq \|\vec{QR}\|^2[/texx]

Saludos.
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