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Autor Tema: Curvas parametrizadas en una esfera, ayuda.  (Leído 156 veces)
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karenT
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« : 15/05/2018, 07:03:19 pm »

Saludos

Quiero solicitar su ayuda con el siguiente problema:

Sean P y Q dos puntos sobre la esfera de radio 1 y centrada en el origen. Sea L(t)= P + t(Q-P) con t[texx]\in{[0,1]}[/texx].
Demostrar que si existe t tal que L(t)=0 entonces t=1/2 y P=-Q

Gracias.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 16/05/2018, 06:01:43 am »

Hola

Quiero solicitar su ayuda con el siguiente problema:

Sean P y Q dos puntos sobre la esfera de radio 1 y centrada en el origen. Sea L(t)= P + t(Q-P) con t[texx]\in{[0,1]}[/texx].
Demostrar que si existe t tal que L(t)=0 entonces t=1/2 y P=-Q

Te piden probar que si una recta que une dos puntos de una esfera pasa por el centro, entonces estos son antipodales.

Si existe [texx]t_0[/texx] tal que [texx]L(t_0)=0[/texx] necesariamente [texx]t_0\neq 0[/texx] y entonces:

[texx]P+t_0(Q-P)=0\quad \Rightarrow{}\quad Q=\left(1-\dfrac{1}{t_0}\right)P[/texx]

Ahora como: [texx]\|Q\|=\|P\|=1[/texx] (por pertenecer a la recta unidad) se deduce que:

[texx]\left|1-\dfrac{1}{t_0}\right|=1\quad \quad \quad t_0=\dfrac{1}{2}[/texx].

Saludos.
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