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Autor Tema: Interpretación geométrica  (Leído 42 veces)
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enrique-akatsuki
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« : 15/05/2018, 06:13:37 pm »

Usando el hecho de que [texx]|z_1 - z_2|[/texx] es la diferencia entre los puntos [texx]z_1[/texx] y [texx]z_2[/texx] da un argumento para ver que:

[texx]|z - 4i| + |z + 4i| = 10 [/texx]

representa una elipse con focos en [texx](0,\pm{4})[/texx]

lo que se me ocurre es que sabemos que [texx]z=x + iy[/texx], lo sustituyo en el problema, sustituyo pero no llego al resultado, me podrían ayudar, de antemano gracias
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delmar
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« Respuesta #1 : 15/05/2018, 08:42:45 pm »

Hola

[texx]\left |{z_1-z_2}\right |[/texx] es la distancia entre los puntos [texx]z_1[/texx] y [texx]z_2[/texx]. La ecuación la cumplen los puntos del plano cuya suma de distancias a los puntos [texx](0,4)[/texx] y [texx](0,-4)[/texx] es una constante en este caso 10, por definición es una elipse cuyos focos son los puntos mencionados, este es un argumento válido.

Otro argumento (el que propones) mucho, más laborioso, es demostrar que los puntos [texx](x,y)[/texx] que cumplen la ecuación, cumplen la ecuación cartesiana de la elipse. Muestro un esbozo :

Un número complejo [texx]z=x+iy[/texx] esto implica :

[texx]\left |{x+i(y-4)}\right |+\left |{x+i(y+4)}\right |=10\Rightarrow{\sqrt[ ]{x^2+(y-4)^2}+\sqrt[ ]{x^2+(y+4)^2}}=10\Rightarrow{\sqrt[ ]{x^2+(y-4)^2}=(10-\sqrt[ ]{x^2+(y+4)^2})}[/texx]

Hay que elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación, luego poner en uno de los miembros solamente la raíz y volver a elevar al cuadrado, finalmente reducir a la forma cartesiana canónica de la elipse.


Saludos
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