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Autor Tema: Números de una sucesión que sean divisibles por...  (Leído 478 veces)
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Benito
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« : 15/05/2018, 02:41:51 pm »

Hola amigos, este un problema de Aritmética. Quería aclarar que no estoy usando LaTeX para este tipo de problemas porque a mi parecer no lo requieren, pero les aseguro que lo usaré cuando sea necesario.
Gracias de antemano

¿Cuantos numeros de la siguiente sucesion dejan residuo 3 al ser divididos por 5?

[texx]\textrm{E=}\left\{{3;7;11;15;...403}\right\}[/texx]

* ddddd.jpg (55.34 KB - descargado 129 veces.)
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robinlambada
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« Respuesta #1 : 15/05/2018, 03:10:34 pm »

Hola, bienvenido al foro.
Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Una aclaración:
Si se puede entender que para el enunciado del problema que planteas no necesites utilizar [texx]LaTeX[/texx] para que sea entendible.

Pero esta prohibido poner fotos en los mensajes que sustituyan los enunciados que se pueden teclear a mano con ordenador. ( las imágenes se reservan para aclarar o como complemento de los mensajes )

Por ello te pido que escribas el enunciado del ejercicio y quites la imagen ( que no es necesaria )

Además, debes decirnos que has intentado o que no comprendes para poder ayudarte. La finalidad del foro no es hacerle los deberes a nadie, si no que se resuelvan las dudas de los foreros y que todos aprendamos un poco más de matemáticas.

Difícilmente podemos  decirte donde has fallado o darte indicaciones de como lo puedes hacer si no nos indicas que has hecho y que no entiendes o no sabes.

Saludos.
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Benito
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« Respuesta #2 : 15/05/2018, 04:19:45 pm »

Bueno. Este tipo de problemas no me salen por dos razones:

1. Es una sucesión discontinua

Si fuera una sucesión continua aplicaría lo siguiente (m es múltiplo) ([texx]k \in{Z}[/texx])

[texx]3≤5_m+3≤403[/texx]
[texx]0≤5_m≤400[/texx]
[texx]0≤5k≤400[/texx]
[texx]0≤k≤80[/texx]

2. Los números de la sucesión tienen la forma de [texx]4_m[/texx]+3 y no conozco una forma de relacionarlo con los [texx]5_m[/texx]. Si no estuviera el residuo se aplica MCM de ambos módulos y luego resolver como arriba
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« Respuesta #3 : 15/05/2018, 04:38:43 pm »

Bueno. Este tipo de problemas no me salen por dos razones:

1. Es una sucesión discontinua

Si fuera una sucesión continua aplicaría lo siguiente (m es múltiplo) ([texx]k \in{Z}[/texx])

[texx]3≤5_m+3≤403[/texx]
[texx]0≤5_m≤400[/texx]
[texx]0≤5k≤400[/texx]
[texx]0≤k≤80[/texx]

2. Los números de la sucesión tienen la forma de [texx]4_m[/texx]+3 y no conozco una forma de relacionarlo con los [texx]5_m[/texx]. Si no estuviera el residuo se aplica MCM de ambos módulos y luego resolver como arriba


Hola, Benito.

Los números que dejan resto 3 módulo 5, empezando la sucesión de todos los naturales desde tres, son 5+3=8, 10+3=13... 400+3...

Si divides 400 entre cinco te da 80.

Bien, pues ahora a esos ochenta les tienes que quitar los que No sean de la forma “4m+3”; siendo estos últimos los que dejan resto tres módulo 4 cuando “m” no es múltiplo de 3 (que tontería había dicho). Y ya con eso... creo que si lo piensas un poco más se te ocurrirá cómo sacarlo.
 

Saludos.
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« Respuesta #4 : 15/05/2018, 05:33:38 pm »

Gracias, por redactar el enunciado e indicarnos lo que planteaste.

Efectivamente el término general de la sucesión es [texx]a_n=4n+3[/texx] con [texx]n\in{}\mathbb{Z}^+\cup{}\{0\}[/texx]

Para que un número natural de resto 3 al dividirlo entre 5 debe ser de la forma [texx]N=5m+3 [/texx] con [texx]m\in{}\mathbb{Z}^+\cup{}\{0\}[/texx]

Debemos igualar [texx]4n+3=5m+3\Leftrightarrow{}4n=5m[/texx] Por tanto [texx]4n[/texx] debe ser múltiplo de [texx]5[/texx], o lo que es lo mismo [texx]5[/texx] divide a [texx]4n[/texx] , pero como [texx]5[/texx] no divide a [texx]4[/texx], no queda mas remedio que divida a [texx]n[/texx], osea [texx]n[/texx] debe ser múltiplo de [texx]5[/texx].

Revisa el rango de valores posibles de n y lo tienes.

Saludos.
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« Respuesta #5 : 15/05/2018, 05:48:44 pm »

Ojo!
Pero todas las posibles respuestas están mal, realmente son [texx]21[/texx] términos, creo que el que propuso el ejercicio se olvidó del [texx]3[/texx] con [texx]n=0[/texx] , [texx]3=4\cdot{}0+3[/texx]
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« Respuesta #6 : 15/05/2018, 05:52:46 pm »

Hola feriva:

Hola, Benito.

Los números que dejan resto 3 módulo 5, empezando la sucesión de todos los naturales desde tres, son 5+3=8, 10+3=13... 400+3...

Si divides 400 entre cinco te da 80.

Bien, pues ahora a esos ochenta les tienes que quitar los que No sean de la forma “4m+3”; siendo estos últimos los que dejan resto tres módulo 4 cuando “m” no es múltiplo de 3 (que tontería había dicho). Y ya con eso... creo que si lo piensas un poco más se te ocurrirá cómo sacarlo.
 

Saludos.

Se te olvido también dividirlo entre [texx]4[/texx] , [texx]\displaystyle\frac{80}{4}=20[/texx] más el correspondiente a [texx]n=0[/texx] total [texx]20+1=21[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #7 : 15/05/2018, 06:13:55 pm »

Hola feriva:

Hola, Benito.

Los números que dejan resto 3 módulo 5, empezando la sucesión de todos los naturales desde tres, son 5+3=8, 10+3=13... 400+3...

Si divides 400 entre cinco te da 80.

Bien, pues ahora a esos ochenta les tienes que quitar los que No sean de la forma “4m+3”; siendo estos últimos los que dejan resto tres módulo 4 cuando “m” no es múltiplo de 3 (que tontería había dicho). Y ya con eso... creo que si lo piensas un poco más se te ocurrirá cómo sacarlo.
 

Saludos.

Se te olvido también dividirlo entre [texx]4[/texx] , [texx]\displaystyle\frac{80}{4}=20[/texx] más el correspondiente a [texx]n=0[/texx] total [texx]20+1=21[/texx]

Saludos.

Sí, tienes razón, Robin, se me ha pasado el cero, hay que añadirlo.

Gracias, saludos.
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« Respuesta #8 : 16/05/2018, 03:36:19 pm »

Hay una ejercicio similar donde tengo dudas

De la sucesion hallar la cantidad de terminos que son multiplos de 8

[texx]P=\left\{{9;16;23;...;709}\right\}[/texx]

Bueno, empecemos

1. Cada termino tiene la forma de [texx]7k+2[/texx], [texx]k=\left\{{1;2;...;101}\right\}[/texx], esos valores salen con la formula de cantidad de terminos

2.Es en esta parte es donde no se que hacer, quiero aplicar lo que explicaron (igualar modulos): [texx]7k+2=8m[/texx]

En el ejercicio anterior teniamos la ventaja de que los residuos eran iguales y se iban, ya intente despejar k y luego colocar [texx]\displaystyle\frac{8m-2}{7}[/texx] en una variacion de [texx]1≤\displaystyle\frac{8m-2}{7}≤101[/texx]

Me sale que m puedo tomar [texx] 2;3..;88 [/texx] pero al reemplazar no cumple. ¿Que estoy haciendo mal?
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« Respuesta #9 : 16/05/2018, 07:51:24 pm »


En el ejercicio anterior teniamos la ventaja de que los residuos eran iguales y se iban


Claro, era muy fácil. Y éste tampoco es difícil porque la ecuación diofántica es muy sencilla, pero no sé si las has estudiado y, quitando eso, ahora mismo sólo se me ocurre hacerlo por probaturas.

Saludos.
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« Respuesta #10 : 17/05/2018, 06:33:13 pm »

Hola.
Hay una ejercicio similar donde tengo dudas

De la sucesion hallar la cantidad de terminos que son multiplos de 8

[texx]P=\left\{{9;16;23;...;709}\right\}[/texx]

Bueno, empecemos

1. Cada termino tiene la forma de [texx]7k+2[/texx], [texx]k=\left\{{1;2;...;101}\right\}[/texx], esos valores salen con la formula de cantidad de terminos

2.Es en esta parte es donde no se que hacer, quiero aplicar lo que explicaron (igualar modulos): [texx]7k+2=8m[/texx]

En el ejercicio anterior teniamos la ventaja de que los residuos eran iguales y se iban, ya intente despejar k y luego colocar [texx]\displaystyle\frac{8m-2}{7}[/texx] en una variacion de [texx]1≤\displaystyle\frac{8m-2}{7}≤101[/texx]

Me sale que m puedo tomar [texx] 2;3..;88 [/texx] pero al reemplazar no cumple. ¿Que estoy haciendo mal?
Lo que has hecho está bien.

Se trata como dice friva de una ecuación diofantica lineal (soluciones enteras) .

La solución general sera la suma de la solución general de la ec. homogénea más una particular. [texx]k=k_h + k_p[/texx] y [texx]m=m_h + m_p[/texx]

La ec. homogénea es [texx]7k=8m[/texx] como 8 y son coprimos , la solución de la ec. homogénea es:

[texx]\begin{cases} k_h=8t \\m_h=7t \end{cases}[/texx]

La particular se puede sacar por inspección en [texx]k=\displaystyle\frac{8m-2}{7}[/texx], dando valores [texx]m=\{0,1,2...6\}[/texx]

Con [texx]m_p=2[/texx] tenemos solución entera [texx] k_p=2[/texx]

Entonces:


[texx]\begin{cases} k=8t+2 \\m=7t+2 \end{cases}[/texx]

Ahora el rango de valores para el parámetro t  lo obtienes de la desigualdad que pusiste para [texx]1\leq{}k\leq{}101[/texx]

Saludos.
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