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Autor Tema: Optimización dos variables aleatorias  (Leído 44 veces)
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« : 15/05/2018, 12:38:34 pm »

Hola

Quiero hallar los máximos y mínimos globales de

[texx]f(x,y)=w(x)+w(y)[/texx] sujeto a [texx]e^{-x}+e^{-y}=b[/texx] con [texx]w(x)=e^{-(-lnx)^{0.5}}[/texx] [texx]b\in(0,1)[/texx] con [texx]x\leq{}y[/texx]

Se plantea el Lagrangiano

[texx]L(x,y,\lambda)=w(x)+w(y)+\lambda(b-e^{-x}-e^{-y})[/texx].

Y cómo sería la condición de segundo orden.

Puede ser que el determinante del hessiano orlado quede:

[texx]w_x+w_y-w_{xx}-w_{yy}[/texx]

Como en los puntos críticos tenemos [texx]w_x=w_y[/texx], evaluando el hessiano orlado en los puntos críticos tenemos que

[texx]H=2w_x-w_{xx}-w{yy}[/texx]


Ahora, creo que para los puntos [texx]0\leq{}x\leq{}b/2\leq{}y[/texx] el hessiando orlado no puede ser negativo.

Saludos
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 16/05/2018, 07:39:43 am »

Hola

Quiero hallar los máximos y mínimos globales de

[texx]f(x,y)=w(x)+w(y)[/texx] sujeto a [texx]e^{-x}+e^{-y}=b[/texx] con [texx]w(x)=e^{-(-lnx)^{0.5}}[/texx] [texx]b\in(0,1)[/texx] con [texx]x\leq{}y[/texx]

Se plantea el Lagrangiano

[texx]L(x,y,\lambda)=w(x)+w(y)+\lambda(b-e^{-x}-e^{-y})[/texx].

Y cómo sería la condición de segundo orden.

Puede ser que el determinante del hessiano orlado quede:

[texx]w_x+w_y-w_{xx}-w_{yy}[/texx]

Como en los puntos críticos tenemos [texx]w_x=w_y[/texx], evaluando el hessiano orlado en los puntos críticos tenemos que

[texx]H=2w_x-w_{xx}-w{yy}[/texx]


Ahora, creo que para los puntos [texx]0\leq{}x\leq{}b/2\leq{}y[/texx] el hessiando orlado no puede ser negativo.

No acabo de verlo. En primer lugar la notación [texx]w_x,w_y,w_{xx},w_{yy}[/texx] es poco clara. [texx]w[/texx] es una función de una sola variable.

El hessiano orlado sería:

[texx]\begin{pmatrix}{0}&{-e^{-x}}&{-e^{-y}}\\{-e^{-x}}&{w''(x)-\lambda e^{-x}}&{c}\\{e
^{-y}}&{0}&{w''(y)-\lambda e^{-y}}\end{pmatrix}[/texx]

El determinante es:

[texx]-(e^{-2y}(w''(x)-\lambda e^{-x})+e^{-2x}(w''(y)-\lambda e^{-y})[/texx]

Además en un punto crítico:

[texx]w'(x)=-\lambda e^{-x}[/texx]
[texx]w'(y)=-\lambda e^{-y}[/texx]

Eso permite escribir el determimante como:

[texx]-\lambda^{-2}(w'(y)^2(w''(x)+w'(x))+w'(x)^2(w''(y)+w'(y))[/texx]

Saludos.
En línea
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