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Autor Tema: Demuestre que es un bisector perpendicular o una circunferencia  (Leído 43 veces)
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cristianoceli
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« : 15/05/2018, 09:52:33 am »

Hola, tengo dudas con esta demostración. La verdad no lo entiendo muy bien, no lo veo claro

Sean [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] dos números complejos distintos. Dado [texx]\lambda \in{\mathbb{R}} [/texx] positivo, considere el conjunto

[texx]A_\lambda =  \{ z\in{\mathbb{C} ; | \displaystyle\frac{z-a}{z-b}} | = \lambda \} [/texx]

Demuestre que:

a) Si [texx]\lambda = 1, A_\lambda  [/texx] es el bisector perpendicular dels egmento que une [texx]a[/texx] con [texx]b[/texx]
b) Si [texx]\lambda \neq{1} , A_\lambda[/texx] es una circunferencia

De antemano muchas gracias
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robinlambada
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« Respuesta #1 : 15/05/2018, 04:07:29 pm »

Hola:
Hola, tengo dudas con esta demostración. La verdad no lo entiendo muy bien, no lo veo claro

Sean [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] dos números complejos distintos. Dado [texx]\lambda \in{\mathbb{R}} [/texx] positivo, considere el conjunto

[texx]A_\lambda =  \{ z\in{\mathbb{C} ; | \displaystyle\frac{z-a}{z-b}} | = \lambda \} [/texx]

Demuestre que:

a) Si [texx]\lambda = 1, A_\lambda  [/texx] es el bisector perpendicular dels egmento que une [texx]a[/texx] con [texx]b[/texx]
b) Si [texx]\lambda \neq{1} , A_\lambda[/texx] es una circunferencia

De antemano muchas gracias
Te indico como comenzar el apartado a) el b) es similar aunque un poco más complejo algebraicamente.

Utiliza la representación binómica [texx]z=x+yi[/texx] , [texx]a=a_1+a_2i[/texx] y  [texx]b=b_1+b_2i[/texx]

Recuerda que si [texx]z=a+bi[/texx] , entonces [texx]\left |{z}\right |^2=|a+bi|^2=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2[/texx] (*)

Si [texx]\lambda=1\Rightarrow{}\left |{\displaystyle\frac{z-a}{z-b}}\right |=\displaystyle\frac{\left |{z-a}\right |}{\left |{z-b}\right |}=1\Leftrightarrow{}\left |{z-a}\right |=\left |{z-b}\right |[/texx](**)

Desarrolla (**) utilizando (*) y verás que se simplifican los términos al cuadrado quedando una función lineal, solo debes comprobar que es perpendicular al segmento que va de [texx]a=a_1+a_2i\equiv{}(a_1,a_2)[/texx] hasta [texx]b=b_1+b_2i\equiv{}(b_1,b_2)[/texx]

Saludos.
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cristianoceli
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« Respuesta #2 : 16/05/2018, 04:16:06 pm »

Hola:
Hola, tengo dudas con esta demostración. La verdad no lo entiendo muy bien, no lo veo claro

Sean [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] dos números complejos distintos. Dado [texx]\lambda \in{\mathbb{R}} [/texx] positivo, considere el conjunto

[texx]A_\lambda =  \{ z\in{\mathbb{C} ; | \displaystyle\frac{z-a}{z-b}} | = \lambda \} [/texx]

Demuestre que:

a) Si [texx]\lambda = 1, A_\lambda  [/texx] es el bisector perpendicular dels egmento que une [texx]a[/texx] con [texx]b[/texx]
b) Si [texx]\lambda \neq{1} , A_\lambda[/texx] es una circunferencia

De antemano muchas gracias
Te indico como comenzar el apartado a) el b) es similar aunque un poco más complejo algebraicamente.

Utiliza la representación binómica [texx]z=x+yi[/texx] , [texx]a=a_1+a_2i[/texx] y  [texx]b=b_1+b_2i[/texx]

Recuerda que si [texx]z=a+bi[/texx] , entonces [texx]\left |{z}\right |^2=|a+bi|^2=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2[/texx] (*)

Si [texx]\lambda=1\Rightarrow{}\left |{\displaystyle\frac{z-a}{z-b}}\right |=\displaystyle\frac{\left |{z-a}\right |}{\left |{z-b}\right |}=1\Leftrightarrow{}\left |{z-a}\right |=\left |{z-b}\right |[/texx](**)

Desarrolla (**) utilizando (*) y verás que se simplifican los términos al cuadrado quedando una función lineal, solo debes comprobar que es perpendicular al segmento que va de [texx]a=a_1+a_2i\equiv{}(a_1,a_2)[/texx] hasta [texx]b=b_1+b_2i\equiv{}(b_1,b_2)[/texx]

Saludos.

Muchas gracias robinlambada por lo de hoy y o de siempre

Saludos
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