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Autor Tema: Duda con despeje de logaritmos.  (Leído 817 veces)
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« : 21/05/2018, 08:27:03 pm »

Hola a todos.

Espero puedan ayudarme, busco una explicación de como llegar desde la fracción logarítmica (1) hacia la (2):

(1)
[texx]\dfrac{\log_{2}(n)}{\log_{2}(n/p)} = [/texx]

(2)
[texx]=\dfrac{1}{1 - \frac{\log_{2}(p)}{\log_{2}(n)}} [/texx]


Luego estiman que haciendole una transformacion a la (2) mediante series de Taylor se llega a:
(3)
[texx]\approx{=}1+  \dfrac{\log_{2}(p)}{\log_{2}(n)} + O(x^2)[/texx]

Sin ser conocedor de fundamentos matemáticos avanzados pienso que desarrollando la formula (1) se puede llegar a la formula (3) sin aplicar serie de Taylor. De que forma se pudiera transformar sin usar Series de Taylor? sino fuese posible en que se fundamente la aproximación usando Taylor?

Saludos y gracias,



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« Respuesta #1 : 21/05/2018, 10:24:29 pm »

Para ver la equivalencia entre (1) y (2) tienes que aplicar la identidad algebraica de cambio de base del logaritmo definida como [texx]\log_y(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(y)}[/texx], para valores [texx]x,y>0[/texx]; y la identidad [texx]\log (x\cdot y)=\log(x)+\log(y)[/texx], en tu caso más bien [texx]\log(x/y)=\log(x)-\log(y)[/texx].

Y luego de (2) pasas a (3) con la identidad de la serie geométrica [texx]\frac1{1-x}=\sum_{k=0}^\infty x^k[/texx] cuando [texx]x\to 0[/texx] que es válida para valores tales que [texx]|x|<1[/texx], lo que significa que tenemos que considerar que [texx]\left|\frac{\log_2(p)}{\log_2(n)}\right|=\left|\frac{\ln(p)}{\ln(n)}\right|< 1[/texx]. La identidad de la serie geométrica se puede escribir usando la notación de Landau como [texx]\frac1{1-x}\in 1+x+\ldots+x^n+O(x^{n+1})[/texx] cuando [texx]x[/texx] tiende a cero para cualquier [texx]n\in\Bbb N[/texx] que elijamos, en tu caso para [texx]n=1[/texx]. (Aunque la serie geométrica es la serie de Maclaurin de la función [texx]f(x):=\frac1{1-x}[/texx], dicho de otro modo, la serie de Taylor de [texx]f[/texx] alrededor de [texx]x=0[/texx].)

Otra forma de pasar de (2) a (3) sería verificar directamente que

[texx]\displaystyle \frac1{1-y}-1-y\in O(y^2),\quad\text{ cuando }y\to 0\tag{*}[/texx]

para [texx]y:=\frac{\ln p}{\ln n}=\frac{\ln(n)}{\ln(p)}[/texx]. Para verificar (*) arreglamos el lado izquierdo, quedando la expresión [texx]\frac{y^2}{1-y}\in O(y^2),\quad\text{cuando }y\to 0[/texx], y usando la definición de la notación de Landau lo anterior en este caso es equivalente a decir que [texx]\lim_{y\to 0}\frac{\frac{y^2}{1-y}}{y^2}\in\Bbb R[/texx], lo cual es cierto ya que tal límite es [texx]1[/texx].

No sé si te habrá quedado claro.



EDICIÓN: no es necesario que [texx]\left|\frac{\log_2(p)}{\log_2(n)}\right|=\left|\frac{\ln(p)}{\ln(n)}\right|< 1[/texx], se puede usar el teorema de Taylor directamente, el cual no necasita que la serie de Taylor exista o que ésta sea convergente.
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« Respuesta #2 : 22/05/2018, 04:34:50 pm »

Ahora entiendo mejor, muchas gracias, Saludos!
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