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Autor Tema: Demostración por Inducción - Sumatoria  (Leído 379 veces)
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AprendizDeMate
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« : 13/05/2018, 05:07:11 pm »

Buenas tardes, estoy teniendo problemas para demostrar esta desigualdad por inducción.

[texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{\frac{(n+i)}{i+1}} \leq 1+ n (n-1)[/texx]

Desde ya gracias a todos,

Saludos,

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« Respuesta #1 : 13/05/2018, 06:05:56 pm »

Caso base para [texx]n=1[/texx] se cumple, es decir, [texx]\frac22\le 1[/texx]. Asumimos que se cumple para algún [texx]n\ge 1[/texx] y debemos demostrar que se cumple para [texx]n+1[/texx].

Para [texx]n+1[/texx] tenemos

[texx]\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}\frac{n+1+k}{k+1}=\sum_{k=1}^n\frac{n+k}{k+1}+\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k+1}+2\le 1+(n+1)n=1+n(n-1)+2n\tag1[/texx]

Entonces usando la hipótesis inductiva en (1) vemos que bastaría con demostrar que [texx]\displaystyle H_{n+2}+1\le 2n[/texx], donde [texx]H_n:=\sum_{k=1}^n\frac1k[/texx] es un número armónico. Y aquí es donde se complica un poco.

Una manera de resolver es comparando los números armónicos con la integral de la función [texx]f(x):=1/x[/texx] enter [texx]1[/texx] y [texx]n[/texx], que no es más que el logaritmo, es decir que [texx]H_n\le 1+\ln n[/texx]. Ahora podemos entonces intentar demostrar la desigualdad [texx]2+\ln (n+2)\le 2n[/texx], la cual es inmediata para valores de [texx]n\ge 3[/texx] sabiendo que [texx]1+\ln x\le x[/texx] para [texx]x>0[/texx], y para el caso [texx]n=2[/texx] es trivial usando la desigualdad original. Quizá haya otra manera más sencilla de hacer la segunda parte de la demostración pero ahora no se me ocurre.

CORRECCIÓN. Había algunos errores.
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #2 : 13/05/2018, 06:52:21 pm »

Otro camino por inducción (más bien una variante):

[texx] \dfrac{1+1}{1+1} = 1 \leq 1+1 \cdot 0 [/texx]

Supón que es cierto para [texx] k = n [/texx] entonces para [texx]k=n+1 [/texx]

[texx]\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1} \dfrac{(n+1) +i}{1+i} = \sum_{i=1}^n \dfrac{n+i}{1+i} + \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{i+1} + \dfrac{2 \cdot n +2}{n+2} [/texx]

Por hipótesis inductiva:

[texx]\displaystyle  \sum_{i=1}^n \dfrac{n+i}{1+i} + \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{i+1} + \dfrac{2 \cdot n +2}{n+2} \leq 1 + n \cdot (n-1) + \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{i+1} + \dfrac{2 \cdot n +2}{n+2} [/texx]

[texx]\displaystyle = 1+n^2-n  + \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{i+1} + \dfrac{2 \cdot n +2}{n+2} [/texx]

Sólo tenemos que hacer [texx]\displaystyle -n  + \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{i+1} + \dfrac{2 \cdot n +2}{n+2} \leq n [/texx]

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