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Autor Tema: Curva algebraica plana  (Leído 955 veces)
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conchivgr
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« : 09/05/2018, 11:53:11 »

Hola.

Dado un cuerpo [texx]K[/texx] y sea [texx]K[X][/texx] el anillo de polinomios definido en el cuerpo [texx]K[/texx] en la indeterminada [texx]X[/texx]definimos el cuerpo de funciones racionales como:

[texx]K(x)=\left\{{\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}, f(x),g(x)\in{K[X]},g(x)\neq{0} }\right\}[/texx]

Ahora, me dicen que una curva afín, es una extensión algebraica finita del cuerpo de funciones racionales [texx]K(x)[/texx], determinada por un polinomio (el ideal generado por él), la cual introduce una nueva variable.

Podría alguien poner un ejemplo?.

Tomemos, por ejemplo, [texx]K=\mathbb{C}[/texx]. Entonces el cuerpo de funciones racionales es [texx]\mathbb{C}(x)[/texx]. Entendido.

Ahora, tomemos el polinomio [texx]y^2-x[/texx].

Cómo se extiende [texx]\mathbb{C}(x)[/texx] usando el polinomio anterior?. Y qué significa esta extensión dada por el polinomio?

Es simplemente el conjunto de puntos [texx](x,y)[/texx] de [texx]\mathbb{C^2}[/texx] que verifican [texx]y^2-x=0[/texx]?.

Por otro lado, la curva es una variedad [texx]V[/texx] de dimensión [texx]1[/texx].

Cómo es el cuerpo de funciones racionales [texx]\mathbb{C}(V)[/texx]?.

Lo necesito entender, porque ahora quiero extender [texx]\mathbb{C}(V)[/texx] para obtener otra curva que sea una cubierta de la primera.

Necesito algún ejemplo muy concreto para poder terminar de entender esto.

Muchísimas gracias y besos.

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