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Autor Tema: ¿Cómo puedo calcular el área entre estas dos curvas? (Integrales dobles).  (Leído 449 veces)
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AlejandroCB
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« : 29/04/2018, 07:39:04 am »

Hola, muy buenas.

Me reintroduzco para que sepáis mi nivel de matemáticas:
Soy estudiante de Ing. Eléctrica y Electrónica Industrial de primer curso, el nivel de Geometría Diferencial que damos se resume a: calcular el triedro de Frenet, parametrizar por longitud de arco, y saber algunos teoremas de aplicación inmediata para la integración sobre recintos muy concretos (cerrados, simples, continuos a trozos...).
Esto (junto a que me he tenido que adaptar al nivel de matemáticas a lo largo de este curso puesto que antes era estudiante de Ciencias Sociales y no sabía lo que era un binomio al cuadrado...) quiere decir que mi capacidad de abstracción matemática es algo pobre.

Dicho esto, he encontrado un ejercicio que me pide: "calcular el área entre las siguientes curvas:"

[texx](x^2+y^2)^2 = a^2(x^2-y^2)[/texx]
 y
[texx]x^2+y^2=\frac{a^2}{2}[/texx]

Lo que he intentado:
He tratado de despejar [texx]y[/texx] de la primera curva, con el objetivo de hallar los puntos de intersección, o algo. Me gustaría tratar de representar gráficamente (o hacerme una idea) la primera curva para proseguir con el ejercicio.
También me viene muy bien si me decís una forma analítica de hacer este tipo de ejercicios sin necesidad de visualizarlo, aunque supongo que pido demasiado para mi nivel de matemáticas (tal vez).

Gracias de antemano.

Actualizo:

¡Vale! creo que he conseguido resolverlo. Me da de resultado [texx]0,33a^2[/texx]. Mi procedimiento ha sido pasar a coordenadas polares, tratar el radio como una constante, meterlo dentro de la primera curva (que es un lazo), sacar el ángulo considerando un radio de 1 (ya que no depende del radio), y utilizando identidades trigonométricas que resuelto una cosa muy fea que queda, al final me queda una integral doble con limites 0;a y 0; 0,66rad (el ángulo aproximado).
Si alguien puede comprobarlo le estaría muy agradecido.
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AlejandroCB
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« Respuesta #1 : 30/04/2018, 06:39:06 pm »

Escribo para decir que estoy al 90% seguro de que el resultado es correcto, para no hacerle perder el tiempo a nadie. Gracias a quien lea esto!
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« Respuesta #2 : 30/04/2018, 10:39:38 pm »

Hola AlejandroCB

Escribo para decir que estoy al 90% seguro de que el resultado es correcto, para no hacerle perder el tiempo a nadie. Gracias a quien lea esto!

No faltaba más. Los foristas que responden o lo intentan, se afianzan, y aprenden a enseñar o guiar y ¿sabes? el que enseña también aprende. El resultado que he obtenido difiere, lo expongo :

El cambio a coordenadas polares [texx]x=r \ cos(\theta), \ \ y=r \ sen(\theta)[/texx] es acertado, las curvas quedan :

Curva 1

[texx](r^2)^2=a^2(r^2 cos^2(\theta)-r^2 sen^2(\theta))\Rightarrow{r^4=a^2 r^2(2 cos^2(\theta)-1)}\Rightarrow{r^2=a^2(2 cos^2(\theta)-1)}\Rightarrow{r=a \ \sqrt[ ]{2 cos^2(\theta)-1}}[/texx] Ec. 1

Dominio :

Para que [texx]\exists{r}[/texx] se tiene que : [texx]2cos^2(\theta)-1\geq{0}\Rightarrow{\left |{cos (\theta)}\right |\geq{\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}}}[/texx] Inec. 1

Se puede ver que la curva es simétrica respecto al eje X y respecto al eje Y, al sustituir [texx]\theta[/texx] por [texx]-\theta[/texx]  o por [texx]\pi-\theta[/texx], la Ecuación 1 no cambia, el r es el mismo.

En consecuencia es suficiente graficar la curva en el primer cuadrante, en este por la Inec. 1,el dominio es : [texx]0\leq{\theta}\leq{\displaystyle\frac{\pi}{4}}[/texx]

Curva 2

[texx]r^2=\displaystyle\frac{a^2}{2}\Rightarrow{r=\displaystyle\frac{a}{\sqrt[ ]{2}} \ }[/texx] Ec. 2

Esta curva es una circunferencia el dominio de esta función es : [texx]0\leq{\theta}<2 \pi[/texx]

Adjunto las gráficas de ambas curvas, la roja es la circunferencia y la azul la curva 1, el área a determinar es la comprendida entre la curva roja y azul, entendiendo la porción externa a la circunferencia e interna a la curva 2,  finalmente se la multiplica por 4 :



Esa área es un integral doble y lo pongo :

[texx]area = \ 4 \ \displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{\pi}{6}}\displaystyle\int_{a/\sqrt[ ]{2}}^{a \ \sqrt[ ]{2cos^2 (\theta)-1}}r \ dr \ d \theta[/texx]

Primero se integra respecto a r luego respecto a [texx]\theta[/texx], el límite superior  del segundo integral es el [texx]\theta[/texx] correspondiente a la intersección de las 2 curvas. Se desprende de :

[texx]a \ \sqrt[ ]{2cos^2(\theta)-1}=\displaystyle\frac{a}{\sqrt[ ]{2}}\Rightarrow{\left |{cos (\theta)}\right |=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}}[/texx]. En el primer cuadrante [texx]\theta=\displaystyle\frac{\pi}{6}[/texx]

El integral es sencillo de desarrollar y se obtiene : [texx]a^2 \ (\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}-\displaystyle\frac{\pi}{6})=0.3424[/texx] esto implica que el área : [texx]4(0.3424)=1.3697[/texx]

Pienso que se te olvido multiplicar por 4, junto a una aproximación a grosso modo del ángulo.

Saludos

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AlejandroCB
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« Respuesta #3 : 22/06/2018, 11:09:24 pm »

Sé que llego tarde (dos meses), pero bueno, aprovecho para darte las gracias por la respuesta, aún me es útil!
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