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Autor Tema: Resolución ejercicio 4 a)  (Leído 308 veces)
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Ian Bounos
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« : 26/04/2018, 09:09:14 am »

[texx]x_{n+1} = 1/2(x_n + \displaystyle\frac{\alpha}{x_n}) [/texx]
con [texx]  x_1>\sqrt(\alpha) [/texx] y [texx] \alpha >0 [/texx].

Veremos primero que la sucesión está acotada inferiormente por [texx] \sqrt(\alpha) [/texx]. Es decir, que [texx] \forall{n} \; x_n> \sqrt(\alpha)  [/texx].
Lo veremos por inducción:

Para el caso base es inmediato por hipotesis, porque  [texx]  x_1>\sqrt(\alpha) [/texx].

para el paso inductivo, suponemos que vale para n y vemos que vale para n+1:

basta con ver que la  resta [texx] x_{n+1} - \sqrt{\alpha} [/texx] es mayor o igual a cero:
 
pero consideremos la función [texx] f(x) = 1/2 (x+\alpha/x) [/texx], cuya derivada es  [texx] f'(x) = 1/2(1-\displaystyle\frac{\alpha}{x^2}) [/texx]. si la evaluamos en [texx] x> \sqrt{\alpha} [/texx], su derivada es negativa allí y cero cuando [texx] x= \sqrt{\alpha}[/texx]. esto implica que [texx] f(x) > f(\sqrt{\alpha})[/texx] (es decir, la función es creciente)

[texx] x_{n+1} - \sqrt{\alpha}= 1/2 (x_n + \displaystyle\frac{\alpha}{x_n})- \sqrt{\alpha} = f(x_n)-\sqrt{\alpha} > f(\alpha)-\sqrt{\alpha}= 0 [/texx]. Esto es lo que queríamos ver.

Ya probamos el otro día que la sucesión es decreciente (usando las dos cotas)

Como es decreciente y esta acotada inferiormente, sabemos que tiende a un límite [texx] L [/texx]
este límite ha de cumplir :

[texx]L =  \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{x_n} =\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{x_{n+1}} =  \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty} {1/2(x_n+\alpha/x_n)} = 1/2(L+\alpha/L) [/texx]
pasando el [texx] 1/2 L [/texx] restando
obtenemos [texx]1/2 L = \alpha/(2L) [/texx]
esto implica que [texx] L^2 = \alpha [/texx]
por lo tanto el límite no ha de ser otro que [texx] \sqrt{\alpha} [/texx]
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Abdulai
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« Respuesta #1 : 26/04/2018, 09:40:33 am »

Una variante es analizar la expresión exacta del término enésimo.

[texx]x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \displaystyle\frac{\alpha}{x_n}\right) \;\;\longrightarrow\;\; \dfrac{x_{n+1}}{\sqrt\alpha} = \frac{1}{2}\left(\dfrac{x_n}{\sqrt\alpha} + \dfrac{\sqrt\alpha}{x_n}\right)[/texx]

Eso es igual a la identidad  [texx]\coth(2\theta) = \frac{1}{2}\left( \coth\theta+\dfrac{1}{\coth\theta}\right)[/texx]

[texx]\therefore\quad x_{n} = \sqrt\alpha\,\coth(2^n\,\theta_0)\quad;\quad \coth\theta_0 = \dfrac{x_0}{\sqrt\alpha}[/texx]
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #2 : 26/04/2018, 02:59:39 pm »

Como [texx] t + \dfrac{1}{t} \geq 2 [/texx] para [texx] t > 0 [/texx] usamos esto:

Una variante es analizar la expresión exacta del término enésimo.

[texx]x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \displaystyle\frac{\alpha}{x_n}\right) \;\;\longrightarrow\;\; \dfrac{x_{n+1}}{\sqrt\alpha} = \frac{1}{2}\left(\dfrac{x_n}{\sqrt\alpha} + \dfrac{\sqrt\alpha}{x_n}\right)[/texx]



Entonces [texx]\displaystyle \dfrac{x_{n+1}}{\sqrt{\alpha}} = \dfrac{1}{2} \cdot (\dfrac{x_n}{\sqrt{\alpha}} + \dfrac{\sqrt{\alpha}}{x_n}) \geq \dfrac{1}{2} \cdot 2 [/texx] entonces:

[texx]  \dfrac{x_{n+1}}{\sqrt{\alpha}} \geq 1 [/texx]

También :

[texx] x_{n+1} = \dfrac{1}{2} \cdot (x_n + \dfrac{\alpha}{x_n}) \leq \dfrac{1}{2} \cdot (x_n + x_n) [/texx]

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Ian Bounos
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« Respuesta #3 : 26/04/2018, 05:18:13 pm »

Una variante es analizar la expresión exacta del término enésimo.

[texx]x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \displaystyle\frac{\alpha}{x_n}\right) \;\;\longrightarrow\;\; \dfrac{x_{n+1}}{\sqrt\alpha} = \frac{1}{2}\left(\dfrac{x_n}{\sqrt\alpha} + \dfrac{\sqrt\alpha}{x_n}\right)[/texx]

Eso es igual a la identidad  [texx]\coth(2\theta) = \frac{1}{2}\left( \coth\theta+\dfrac{1}{\coth\theta}\right)[/texx]

[texx]\therefore\quad x_{n} = \sqrt\alpha\,\coth(2^n\,\theta_0)\quad;\quad \coth\theta_0 = \dfrac{x_0}{\sqrt\alpha}[/texx]

Muchas gracias! justamente habíamos hablado acerca de si era posible encontrar la expresión exacta, pero no sabía la respuesta
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