Hola, Marta. Bienvenida al foro.
algunos detalles se me escapan aún así: la fórmula [texx]\sigma[/texx] del resultado principal me confunde mucho
Es la parte más técnica de la prueba. La estructura de [texx]\sigma[/texx] es del estilo de:
[texx]\sigma(u) \equiv \exists x (x = (4,6,u,12,u)\land \phi(x))[/texx]
es decir: la fórmula [texx]\sigma(u)[/texx] afirma que existe un [texx]x[/texx], el cual no es sino la sucesión de números naturales [texx](4,6,u,12,u)[/texx] (que depende de la variable [texx]u[/texx]) de modo que esa sucesión cumple lo que dice [texx]\phi[/texx] o, equivalentemente [texx]\sigma(u)[/texx] afirma que se cumple [texx]\phi((4,6,u,12,u))[/texx].
Sólo que, en realidad, la sucesión en cuestión no es [texx](4,6,u,12,u)[/texx], sino otra elegida con mucha más astucia. Concretamente, es
[texx]\ulcorner\exists\urcorner\ulcorner u\urcorner ([\ulcorner u\urcorner = u]\,\ulcorner\land\urcorner\, u)[/texx],
donde todas las expresiones que aparecen ahí han sido definidas antes. Si suponemos, por concretar, que la variable [texx]u[/texx] es [texx]x_0[/texx], entonces [texx]\ulcorner u\urcorner [/texx] es el número natural [texx]5[/texx] y tenemos la situación siguiente:
La expresión [texx][\ulcorner u\urcorner = u][/texx] está definida cuando [texx]\ulcorner u\urcorner[/texx] es un número natural mayor o igual que [texx]5[/texx] (en este caso es el [texx]5[/texx]) y [texx]u[/texx] es una fórmula (una sucesión de números naturales que cumple la definición de fórmula). El resultado es una fórmula. La conjunción [texx]\ulcorner\land\urcorner[/texx] es una función que está definida para cada par de fórmulas, en este caso tenemos la fórmula [texx][\ulcorner u\urcorner = u][/texx] y la fórmula [texx]u[/texx]. El resultado es una fórmula, que a su vez puede completarse anteponiéndole [texx]\ulcorner\exists\urcorner\ulcorner u\urcorner [/texx].
En resumen, [texx]\sigma(u)[/texx] es una fórmula metamatemática que tiene sentido siempre que la variable [texx]u[/texx] se sustituya por una fórmula (por una sucesión de números naturales que cumpla la definición de fórmula). Pero entonces, [texx]\ulcorner\sigma\urcorner[/texx] es una sucesión de números naturales que satisface la definición de fórmula, luego podemos sustituir [texx]u[/texx] por [texx]\ulcorner\sigma\urcorner[/texx] en [texx]\sigma[/texx] y así obtenemos una sentencia, que es la que cumple lo requerido.
y no acabo de ver por qué que [texx]G[/texx] no sea demostrable equivale a la propia [texx]G[/texx]
El primer teorema de incompletitud es:
[texx]\mbox{Consis ZFC}\leftrightarrow \lnot\exists D\,\mbox{ZFC}\vdash_D\ulcorner G\urcorner[/texx]
Pero esto puede entenderse de dos maneras. Es como "la suma de números naturales es conmutativa". Eso puedes entenderlo como una afirmación sobre los "números naturales de verdad", pero también como un teorema de Z. Más aún, si demuestras que se cumple [texx]m+n = n+m[/texx], digamos por inducción sobre [texx]m[/texx], el mismo argumento te sirve para convencerte de que esa afirmación es cierta para los números naturales de verdad y como prueba formal de dicho teorema en Z. No está presentado como una demostración formal en sentido estricto (con cada pasito detallado, con una regla de inferencia detrás de otra), pero es que ningún libro de matemáticas demuestra los teoremas con ese nivel de detalle. Nadie entendería nada así.
Pues igualmente, nosotros hemos demostrado que "las fórmulas de verdad" cumplen
[texx]\mbox{Consis ZFC}\leftrightarrow \lnot\exists D\,\mbox{ZFC}\vdash_D\ulcorner G\urcorner[/texx]
Pero exactamente el mismo argumento es también una demostración en Z de que se cumple eso mismo. No detallada hasta hacerla incomprensible, pero sí con el mismo nivel de detalle que se usa en cualquier libro de matemáticas. Por lo que eso mismo es un teorema de Z. Y a partir de ahí se concluye inmediatamente que la parte derecha es equivalente a G por la construcción de G.
Con todo, me surge una duda tonta. Se sabe que hay enunciados que no se pueden probar en [texx]Z[/texx] como el de elección o la hipótesis del continuo.
¿En qué sentido aporta más información construir [texx]G[/texx] como enunciado indemostrable?
Parece claro que aporta más porque supongo que podremos razonar igual para cualquier extensión de [texx]Z[/texx], pero no lo veo claro del todo y me gustaría saber tu opinión.
No es una pregunta tonta. Por una parte, está lo que dices, que el argumento que prueba que [texx]G[/texx] es indemostrable se aplica a cualquier extensión razonable de Z, por lo que resulta que cualquier teoría de conjuntos será siempre incompleta. Si no puedes demostrar el axioma de elección, puedes añadirlo como axioma, y también la hipótesis del continuo, si quieres, pero el argumento de Gödel prueba que, por muchos axiomas que añadas, siempre habrá afirmaciones indecidibles.
Pero, más aún, lo que prueba el teorema de incompletitud es que en una teoría de conjuntos siempre es indemostrable la afirmación que afirma su propia consistencia, por lo que cualquier afirmación que implique la consistencia de una teoría de conjuntos será indemostrable también en dicha teoría, y sucede que hay muchas afirmaciones que implican la consistencia de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, puede probarse que si fuera posible definir un volumen a todo subconjunto de [texx]\mathbb R^3[/texx] de forma que el volumen de los cuerpos usuales sea el usual (el volumen de un cubo, etc.) y se cumplan unas propiedades básicas (como que el volumen de una unión disjunta sea la suma de los volúmenes, que los puntos tengan volumen cero y poco más) entonces podríamos demostrar que ZFC es consistente, luego el teorema de incompletitud implica que en ZFC no es posible dar una definición de volumen para todos los subconjuntos de [texx]\mathbb R^3[/texx].
