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Autor Tema: Comentarios a El teorema de Gödel (en Z)  (Leído 3156 veces)
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argentinator
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« Respuesta #20 : 29/04/2018, 10:06:42 am »

Cita
Estimado feriva.
Siempre es un placer verle,  o cuando menos, leer los caracteres que usted tipea

Lo mismo digo, siempre es un placer leerte, Argentinator, pero no me llames de usted, que nos conocemos virtualmente hace una década o más (cómo pasa el tiempo dentro de internet).

Estoy de acuerdo en todo, es verdad que un mismo número binario puede ser  interpretado de diferentes maneras, se le pueden dar distintos significados. Pero me refería a la unicidad del tipo de material básico empleado. Es decir, vamos a suponer que un señor tiene la placa base al aire, sin caja ni nada (como yo) y puede alterar los bits haciendo contacto con un alfiler en unos pinchitos metálicos o donde sea en la placa. Ahí no hay teclas ni símbolos directos, lo que hay es una especie de código Morse, puntos y rayas que lo mismo podríamos hacer con “toques”, pitidos, señales de humo...

Con dos cosas, “síes” y “noes” o, casi mejor dicho, con “señal” y “ausencia de señal” formamos el lenguaje; y en ese sentido es mínimo para cualquier ordenador. No sé si se podría hacer con sólo un tipo de señal, pero si fuera así estaríamos hablando de otro tipo de máquina, no de lo que entendemos por un ordenador normal.

Un saludo.

La especificación o definición de lo que se supone que debe hacer un programa escrito en C++,  Java, Haskell, etc., incluso también un lenguaje de máquina, es un documento que reside en los archivos de algún comité.
Eso es lo que define un lenguaje.
Y está claro que un documento no ejecuta nada.

Una máquina es algo capaz de ejecutar instrucciones.
A la máquina le sucede algo inverso.
Aunque se puede dar la especificación de lo que hace una máquina, no es del todo necesario,  pues se puede inferir su comportamiento por experimentación.

En Windows uno puede interactuar con el sistema mediante íconos y ventanitas.
Desde el punto de vista del usuario,  todo ese sistema en funcionamiento es la máquina.
Un lenguaje como powershell (o bash para Linux) es interpretado directamente por el sistema para ejecutar tareas predefinidas.
Si bien una tarea de sistema se traduce a instrucciones binarias, no importa mucho,  ya que cada instrucción de powershell se puede ver como un todo, una acción indivisible en subacciones del sistema.
En ese sentido, serían de bajo nivel.

Lo que estoy diciendo es que el bajo nivel de un lenguaje es una propiedad que asocio a atomicidad de la acción requerida como instrucción. Esto depende de lo que estemos considerando como máquina.

Las instrucciones de sistema son las mismas con independencia del hardware subyacente,  que en general es diferente con cada nuevo modelo que sale al mercado.

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feriva
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« Respuesta #21 : 29/04/2018, 01:49:54 pm »


Lo que estoy diciendo es que el bajo nivel de un lenguaje es una propiedad que asocio a atomicidad de la acción requerida como instrucción. Esto depende de lo que estemos considerando como máquina.


De acuerdo, entiendo lo que quieres decir.

A fin de cuentas, lo que nos importa es entender cómodamente el código; y si la máquina entiende lo que tiene que entender ella y nosotros lo nuestro (coincidan los lenguajes usados por máquina y usuario o no) pues no hay mucho problema.

Saludos.
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Marta Balaguer
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« Respuesta #22 : 09/02/2019, 09:22:04 pm »

Hola, soy estudiante de primero de matemáticas, con inquietudes en lógica matemática. He seguido con mucha atención esta demostración de los teoremas de incompletitud de Gödel y me ha encantado porque gracias a ella he podido seguir algo que antes solo podía seguir en libros de divulgación (algunos detalles se me escapan aún así: la fórmula [texx]\sigma[/texx] del resultado principal me confunde mucho y no acabo de ver por qué que [texx]G[/texx] no sea demostrable equivale a la propia [texx]G[/texx]).

Agradezco mucho todo tu trabajo y lo que aportas con ello.

Con todo, me surge una duda tonta. Se sabe que hay enunciados que no se pueden probar en [texx]Z[/texx] como el de elección o la hipótesis del continuo.
¿En qué sentido aporta más información construir [texx]G[/texx] como enunciado indemostrable?
Parece claro que aporta más porque supongo que podremos razonar igual para cualquier extensión de [texx]Z[/texx], pero no lo veo claro del todo y me gustaría saber tu opinión.

Muchas gracias.
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #23 : 10/02/2019, 12:00:21 pm »

Hola, Marta. Bienvenida al foro.

algunos detalles se me escapan aún así: la fórmula [texx]\sigma[/texx] del resultado principal me confunde mucho

Es la parte más técnica de la prueba. La estructura de [texx]\sigma[/texx] es del estilo de:

[texx]\sigma(u) \equiv \exists x (x = (4,6,u,12,u)\land \phi(x))[/texx]

es decir: la fórmula [texx]\sigma(u)[/texx] afirma que existe un [texx]x[/texx], el cual no es sino la sucesión de números naturales [texx](4,6,u,12,u)[/texx] (que depende de la variable [texx]u[/texx]) de modo que esa sucesión cumple lo que dice [texx]\phi[/texx] o, equivalentemente [texx]\sigma(u)[/texx] afirma que se cumple [texx]\phi((4,6,u,12,u))[/texx].

Sólo que, en realidad, la sucesión en cuestión no es [texx](4,6,u,12,u)[/texx], sino otra elegida con mucha más astucia. Concretamente, es

[texx]\ulcorner\exists\urcorner\ulcorner u\urcorner ([\ulcorner u\urcorner = u]\,\ulcorner\land\urcorner\,  u)[/texx],

donde todas las expresiones que aparecen ahí han sido definidas antes. Si suponemos, por concretar, que la variable [texx]u[/texx] es [texx]x_0[/texx], entonces [texx]\ulcorner u\urcorner [/texx] es el número natural [texx]5[/texx] y tenemos la situación siguiente:

La expresión [texx][\ulcorner u\urcorner = u][/texx] está definida cuando [texx]\ulcorner u\urcorner[/texx] es un número natural mayor o igual que [texx]5[/texx] (en este caso es el [texx]5[/texx]) y [texx]u[/texx] es una fórmula (una sucesión de números naturales que cumple la definición de fórmula). El resultado es una fórmula. La conjunción [texx]\ulcorner\land\urcorner[/texx] es una función que está definida para cada par de fórmulas, en este caso tenemos la fórmula [texx][\ulcorner u\urcorner = u][/texx] y la fórmula [texx]u[/texx]. El resultado es una fórmula, que a su vez puede completarse anteponiéndole [texx]\ulcorner\exists\urcorner\ulcorner u\urcorner [/texx].

En resumen, [texx]\sigma(u)[/texx] es una fórmula metamatemática que tiene sentido siempre que la variable [texx]u[/texx] se sustituya por una fórmula (por una sucesión de números naturales que cumpla la definición de fórmula). Pero entonces, [texx]\ulcorner\sigma\urcorner[/texx] es una sucesión de números naturales que satisface la definición de fórmula, luego podemos sustituir [texx]u[/texx] por [texx]\ulcorner\sigma\urcorner[/texx] en [texx]\sigma[/texx] y así obtenemos una sentencia, que es la que cumple lo requerido.

y no acabo de ver por qué que [texx]G[/texx] no sea demostrable equivale a la propia [texx]G[/texx]

El primer teorema de incompletitud es:

[texx]\mbox{Consis ZFC}\leftrightarrow \lnot\exists D\,\mbox{ZFC}\vdash_D\ulcorner G\urcorner[/texx]

Pero esto puede entenderse de dos maneras. Es como "la suma de números naturales es conmutativa". Eso puedes entenderlo como una afirmación sobre los "números naturales de verdad", pero también como un teorema de Z. Más aún, si demuestras que se cumple [texx]m+n = n+m[/texx], digamos por inducción sobre [texx]m[/texx], el mismo argumento te sirve para convencerte de que esa afirmación es cierta para los números naturales de verdad y como prueba formal de dicho teorema en Z. No está presentado como una demostración formal en sentido estricto (con cada pasito detallado, con una regla de inferencia detrás de otra), pero es que ningún libro de matemáticas demuestra los teoremas con ese nivel de detalle. Nadie entendería nada así.

Pues igualmente, nosotros hemos demostrado que "las fórmulas de verdad" cumplen

[texx]\mbox{Consis ZFC}\leftrightarrow \lnot\exists D\,\mbox{ZFC}\vdash_D\ulcorner G\urcorner[/texx]

Pero exactamente el mismo argumento es también una demostración en Z de que se cumple eso mismo. No detallada hasta hacerla incomprensible, pero sí con el mismo nivel de detalle que se usa en cualquier libro de matemáticas. Por lo que eso mismo es un teorema de Z. Y a partir de ahí se concluye inmediatamente que la parte derecha es equivalente a G por la construcción de G.

Con todo, me surge una duda tonta. Se sabe que hay enunciados que no se pueden probar en [texx]Z[/texx] como el de elección o la hipótesis del continuo.
¿En qué sentido aporta más información construir [texx]G[/texx] como enunciado indemostrable?
Parece claro que aporta más porque supongo que podremos razonar igual para cualquier extensión de [texx]Z[/texx], pero no lo veo claro del todo y me gustaría saber tu opinión.

No es una pregunta tonta. Por una parte, está lo que dices, que el argumento que prueba que [texx]G[/texx] es indemostrable se aplica a cualquier extensión razonable de Z, por lo que resulta que cualquier teoría de conjuntos será siempre incompleta. Si no puedes demostrar el axioma de elección, puedes añadirlo como axioma, y también la hipótesis del continuo, si quieres, pero el argumento de Gödel prueba que, por muchos axiomas que añadas, siempre habrá afirmaciones indecidibles.

Pero, más aún, lo que prueba el teorema de incompletitud es que en una teoría de conjuntos siempre es indemostrable la afirmación que afirma su propia consistencia, por lo que cualquier afirmación que implique la consistencia de una teoría de conjuntos será indemostrable también en dicha teoría, y sucede que hay muchas afirmaciones que implican la consistencia de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, puede probarse que si fuera posible definir un volumen a todo subconjunto de [texx]\mathbb R^3[/texx] de forma que el volumen de los cuerpos usuales sea el usual (el volumen de un cubo, etc.) y se cumplan unas propiedades básicas (como que el volumen de una unión disjunta sea la suma de los volúmenes, que los puntos tengan volumen cero y poco más) entonces podríamos demostrar que ZFC es consistente, luego el teorema de incompletitud implica que en ZFC no es posible dar una definición de volumen para todos los subconjuntos de [texx]\mathbb R^3[/texx].
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Marta Balaguer
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« Respuesta #24 : 10/02/2019, 04:04:20 pm »

Hola, Marta. Bienvenida al foro.

Muchas gracias, me alegra estar aquí y aprender cosas que me resultan tan interesantes de un modo tan didáctico e instructivo.

Es la parte más técnica de la prueba. La estructura de [texx]\sigma[/texx] es del estilo de:

[texx]\sigma(u) \equiv \exists x (x = (4,6,u,12,u)\land \phi(x))[/texx]

es decir: la fórmula [texx]\sigma(u)[/texx] afirma que existe un [texx]x[/texx], el cual no es sino la sucesión de números naturales [texx](4,6,u,12,u)[/texx] (que depende de la variable [texx]u[/texx]) de modo que esa sucesión cumple lo que dice [texx]\phi[/texx] o, equivalentemente [texx]\sigma(u)[/texx] afirma que se cumple [texx]\phi((4,6,u,12,u))[/texx].

Por tanto, de este modo la expresión [texx]\sigma(u)[/texx] nos está indicando que la sucesión tenida en cuenta cumple [texx]\phi[/texx].

Sólo que, en realidad, la sucesión en cuestión no es [texx](4,6,u,12,u)[/texx], sino otra elegida con mucha más astucia. Concretamente, es

[texx]\ulcorner\exists\urcorner\ulcorner u\urcorner ([\ulcorner u\urcorner = u]\,\ulcorner\land\urcorner\,  u)[/texx],

donde todas las expresiones que aparecen ahí han sido definidas antes. Si suponemos, por concretar, que la variable [texx]u[/texx] es [texx]x_0[/texx], entonces [texx]\ulcorner u\urcorner [/texx] es el número natural [texx]5[/texx] y tenemos la situación siguiente:

La expresión [texx][\ulcorner u\urcorner = u][/texx] está definida cuando [texx]\ulcorner u\urcorner[/texx] es un número natural mayor o igual que [texx]5[/texx] (en este caso es el [texx]5[/texx]) y [texx]u[/texx] es una fórmula (una sucesión de números naturales que cumple la definición de fórmula). El resultado es una fórmula. La conjunción [texx]\ulcorner\land\urcorner[/texx] es una función que está definida para cada par de fórmulas, en este caso tenemos la fórmula [texx][\ulcorner u\urcorner = u][/texx] y la fórmula [texx]u[/texx]. El resultado es una fórmula, que a su vez puede completarse anteponiéndole [texx]\ulcorner\exists\urcorner\ulcorner u\urcorner [/texx].

En resumen, [texx]\sigma(u)[/texx] es una fórmula metamatemática que tiene sentido siempre que la variable [texx]u[/texx] se sustituya por una fórmula (por una sucesión de números naturales que cumpla la definición de fórmula). Pero entonces, [texx]\ulcorner\sigma\urcorner[/texx] es una sucesión de números naturales que satisface la definición de fórmula, luego podemos sustituir [texx]u[/texx] por [texx]\ulcorner\sigma\urcorner[/texx] en [texx]\sigma[/texx] y así obtenemos una sentencia, que es la que cumple lo requerido.

De este modo conseguimos una expresión [texx]\sigma[/texx] que se refiera a sí misma, puesto que [texx]\ulcorner\sigma\urcorner[/texx] és una fórmula, si he entendido correctamente. Que es lo que pretendíamos hallar.

El primer teorema de incompletitud es:

[texx]\mbox{Consis ZFC}\leftrightarrow \lnot\exists D\,\mbox{ZFC}\vdash_D\ulcorner G\urcorner[/texx]

Pero esto puede entenderse de dos maneras. Es como "la suma de números naturales es conmutativa". Eso puedes entenderlo como una afirmación sobre los "números naturales de verdad", pero también como un teorema de Z. Más aún, si demuestras que se cumple [texx]m+n = n+m[/texx], digamos por inducción sobre [texx]m[/texx], el mismo argumento te sirve para convencerte de que esa afirmación es cierta para los números naturales de verdad y como prueba formal de dicho teorema en Z. No está presentado como una demostración formal en sentido estricto (con cada pasito detallado, con una regla de inferencia detrás de otra), pero es que ningún libro de matemáticas demuestra los teoremas con ese nivel de detalle. Nadie entendería nada así.

Pues igualmente, nosotros hemos demostrado que "las fórmulas de verdad" cumplen

[texx]\mbox{Consis ZFC}\leftrightarrow \lnot\exists D\,\mbox{ZFC}\vdash_D\ulcorner G\urcorner[/texx]

Pero exactamente el mismo argumento es también una demostración en Z de que se cumple eso mismo. No detallada hasta hacerla incomprensible, pero sí con el mismo nivel de detalle que se usa en cualquier libro de matemáticas. Por lo que eso mismo es un teorema de Z. Y a partir de ahí se concluye inmediatamente que la parte derecha es equivalente a G por la construcción de G.

No es una pregunta tonta. Por una parte, está lo que dices, que el argumento que prueba que [texx]G[/texx] es indemostrable se aplica a cualquier extensión razonable de Z, por lo que resulta que cualquier teoría de conjuntos será siempre incompleta. Si no puedes demostrar el axioma de elección, puedes añadirlo como axioma, y también la hipótesis del continuo, si quieres, pero el argumento de Gödel prueba que, por muchos axiomas que añadas, siempre habrá afirmaciones indecidibles.

Lo que aporta, pues, la definición de [texx]G[/texx] y probar que es indemostrable se trata del hecho que [texx]G[/texx] siempre será indemostrable por muchos axiomas que queramos añadir (siempr que sea consistente, claro está) a [texx]Z[/texx].

Pero, más aún, lo que prueba el teorema de incompletitud es que en una teoría de conjuntos siempre es indemostrable la afirmación que afirma su propia consistencia, por lo que cualquier afirmación que implique la consistencia de una teoría de conjuntos será indemostrable también en dicha teoría, y sucede que hay muchas afirmaciones que implican la consistencia de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, puede probarse que si fuera posible definir un volumen a todo subconjunto de [texx]\mathbb R^3[/texx] de forma que el volumen de los cuerpos usuales sea el usual (el volumen de un cubo, etc.) y se cumplan unas propiedades básicas (como que el volumen de una unión disjunta sea la suma de los volúmenes, que los puntos tengan volumen cero y poco más) entonces podríamos demostrar que ZFC es consistente, luego el teorema de incompletitud implica que en ZFC no es posible dar una definición de volumen para todos los subconjuntos de [texx]\mathbb R^3[/texx].

Con esto quieres decir que muchas nociones matemáticas que tenemos son irrealizables en ZFC. No sé si pensar que las matemáticas penden de un hilo que ni tan sólo podemos refutar o bien pensar que las nociones que tenemos no son aplicables a todos los conjuntos porque hay algunos conjuntos muy extraños en ZFC que no tenemos en cuenta cuando razonamos coloquialmente.

He marcado el trozo que más me cuesta entender (el fragmento donde no he respondido nada), pero tampoco sé exactamente expresar mis dificultades. En particular me cuesta entender la última frase sobre [texx]G[/texx], por qué es equivalente: lo pensaré estos días. Voy a trabajar más en esta demostración. Aunque aún me cuesta un poco creo que podré entenderla por completo con las explicaciones adicionales que me has dado, muchísimas gracias.
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« Respuesta #25 : 10/02/2019, 04:23:50 pm »

Por tanto, de este modo la expresión [texx]\sigma(u)[/texx] nos está indicando que la sucesión tenida en cuenta cumple [texx]\phi[/texx].

La fórmula [texx]\sigma(u)[/texx] dice: "La fórmula que resulta de realizar cierta operación a la fórmula [texx]u[/texx] cumple la propiedad [texx]\phi[/texx]".

De este modo conseguimos una expresión [texx]\sigma[/texx] que se refiera a sí misma, puesto que [texx]\ulcorner\sigma\urcorner[/texx] és una fórmula, si he entendido correctamente. Que es lo que pretendíamos hallar.

La fórmula [texx]\psi[/texx] es [texx]\sigma(\ulcorner\sigma\urcorner)[/texx], luego significa: "La fórmula que resulta de realizar cierta operación a la fórmula  [texx]\ulcorner\sigma\urcorner[/texx] cumple [texx]\phi[/texx]", pero es que la operación en cuestión es sustituir la variable [texx]u[/texx] por [texx]\ulcorner\sigma\urcorner[/texx], y la fórmula que resulta de sustituir [texx]u[/texx] por [texx]\ulcorner\sigma\urcorner[/texx] en [texx]\sigma[/texx] es precisamente [texx]\psi[/texx], y por eso [texx]\psi[/texx] afirma que ella misma cumple [texx]\phi[/texx].

Lo que aporta, pues, la definición de [texx]G[/texx] y probar que es indemostrable se trata del hecho que [texx]G[/texx] siempre será indemostrable por muchos axiomas que queramos añadir (siempr que sea consistente, claro está) a [texx]Z[/texx].

Sólo un matiz: si tomas como axioma [texx]G[/texx], entonces [texx]G[/texx] pasa a ser demostrable, pero es que entonces hay otra [texx]G'[/texx] construida como [texx]G[/texx], pero a partir de los nuevos axiomas, que incluyen [texx]G[/texx], que resulta indemostrable. No es que la misma fórmula sea siempre indemostrable, sino que siempre podemos generar otra indemostrable por el mismo método, incorporando cada vez los nuevos axiomas.

Con esto quieres decir que muchas nociones matemáticas que tenemos son irrealizables en ZFC.

No sé si te entiendo. Por ejemplo, el concepto de "volumen" se puede definir para cubos, esferas, pirámides y para muchas figuras de formas diversas, y todo ello es formalizable en ZFC. No es que haya figuras de las que sepas calcular su volumen y que eso no puedas hacerlo en ZFC. Eso no te lo encontrarás. Lo que digo es que no es posible asignar un volumen a cualquier subconjunto de [texx]\mathbb R^3[/texx], pero los subconjuntos de [texx]\mathbb R^3[/texx] a los que no es posible asignarles un volumen son conjuntos "raros", que no se parecen en nada a aquellos a los que sí que sabes asignarles un volumen.

Por si lee esto alguien que sepa algo de teoría de la medida, no me estoy refiriendo a que existen subconjuntos de [texx]\mathbb R^3[/texx] no medibles Lebesgue, sino a que no es posible demostrar que la medida de Lebesgue admite una extensión a todos los subconjuntos de [texx]\mathbb R^3[/texx].

No sé si pensar que las matemáticas penden de un hilo que ni tan sólo podemos refutar o bien pensar que las nociones que tenemos no son aplicables a todos los conjuntos porque hay algunos conjuntos muy extraños en ZFC que no tenemos en cuenta cuando razonamos coloquialmente.

Pero nada de eso hace que nada penda de un hilo. Simplemente, no se puede definir el volumen de un conjunto arbitrario, pero sí de una familia muy amplia de conjuntos.

He marcado el trozo que más me cuesta entender (el fragmento donde no he respondido nada), pero tampoco sé exactamente expresar mis dificultades. En particular me cuesta entender la última frase sobre [texx]G[/texx], por qué es equivalente: lo pensaré estos días. Voy a trabajar más en esta demostración. Aunque aún me cuesta un poco creo que podré entenderla por completo con las explicaciones adicionales que me has dado, muchísimas gracias.

De acuerdo.
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« Respuesta #26 : 11/02/2019, 08:00:46 am »

La fórmula [texx]\sigma(u)[/texx] dice: "La fórmula que resulta de realizar cierta operación a la fórmula [texx]u[/texx] cumple la propiedad [texx]\phi[/texx]".

La fórmula [texx]\psi[/texx] es [texx]\sigma(\ulcorner\sigma\urcorner)[/texx], luego significa: "La fórmula que resulta de realizar cierta operación a la fórmula  [texx]\ulcorner\sigma\urcorner[/texx] cumple [texx]\phi[/texx]", pero es que la operación en cuestión es sustituir la variable [texx]u[/texx] por [texx]\ulcorner\sigma\urcorner[/texx], y la fórmula que resulta de sustituir [texx]u[/texx] por [texx]\ulcorner\sigma\urcorner[/texx] en [texx]\sigma[/texx] es precisamente [texx]\psi[/texx], y por eso [texx]\psi[/texx] afirma que ella misma cumple [texx]\phi[/texx].

De acuerdo, creo que me queda bastante clara esta parte de la prueba.

Sólo un matiz: si tomas como axioma [texx]G[/texx], entonces [texx]G[/texx] pasa a ser demostrable, pero es que entonces hay otra [texx]G'[/texx] construida como [texx]G[/texx], pero a partir de los nuevos axiomas, que incluyen [texx]G[/texx], que resulta indemostrable. No es que la misma fórmula sea siempre indemostrable, sino que siempre podemos generar otra indemostrable por el mismo método, incorporando cada vez los nuevos axiomas.

Cierto, disculpa, no me expresé correctamente, me refería a que siempre habrá una fórmula construida como [texx]G[/texx], pese a que añadamos nuevos axiomas, que por tanto será indemostrable.

No sé si te entiendo. Por ejemplo, el concepto de "volumen" se puede definir para cubos, esferas, pirámides y para muchas figuras de formas diversas, y todo ello es formalizable en ZFC. No es que haya figuras de las que sepas calcular su volumen y que eso no puedas hacerlo en ZFC. Eso no te lo encontrarás. Lo que digo es que no es posible asignar un volumen a cualquier subconjunto de [texx]\mathbb R^3[/texx], pero los subconjuntos de [texx]\mathbb R^3[/texx] a los que no es posible asignarles un volumen son conjuntos "raros", que no se parecen en nada a aquellos a los que sí que sabes asignarles un volumen.

Pero nada de eso hace que nada penda de un hilo. Simplemente, no se puede definir el volumen de un conjunto arbitrario, pero sí de una familia muy amplia de conjuntos.

Entiendo mejor a lo que te estabas refiriendo con estas aclaraciones. Muchas gracias por las explicaciones adicionales respecto a la prueba. Continuaré estos días trabajando en ella para alcanzar una total comprensión de la misma.
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