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Autor Tema: Superficie de revolución  (Leído 438 veces)
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Eparoh
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« : 17/04/2018, 05:43:59 pm »

Hola a todos, tengo planteado el siguiente ejercicio:

Sea [texx]\alpha: I \longrightarrow{} \mathbb{R}^3[/texx] dada por [texx]\alpha(t)=\left(f(t),0,g(t)\right)[/texx] una curva diferenciable parametrizada regular plana, contenida en el plano [texx]y=0[/texx], la cual no corta el eje [texx]z[/texx], no tiene autointersecciones y f(t)>0. Sea [texx]S[/texx] el conjunto de [texx]\mathbb{R}^3[/texx] obtenido al rotar dicha curva alrededor del eje [texx]z[/texx], demostrar que [texx]S[/texx] es una superficie regular.

Tengo como candidato a parmetrización la aplicación diferenciable [texx]x:U\longrightarrow{}\mathbb{R}^3[/texx] dada por [texx]x(t,s)=\left(f(t)\cos(s), f(t)\sin(s),g(t)\right)[/texx] con [texx]U=I \times (0,2\pi)[/texx] (y para la curva que falta por cubrir, bastaría tomar la composición de una rotación respecto al eje [texx]z[/texx] con dicha aplicación como segunda parametrización).
He conseguido demostrar que la imagen de dicha aplicación es un abierto en el conjunto [texx]S[/texx], que es diferenciable por serlo [texx]\alpha[/texx], que su diferencial es inyectiva.
Mi problema viene al intentar primero ver la inyectividad de la aplicación y aun considerandola, la continuidad de la aplicación inversa.

Muchas gracias por todo, y un saludo.

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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 18/04/2018, 06:32:51 am »

Hola

Hola a todos, tengo planteado el siguiente ejercicio:

Sea [texx]\alpha: I \longrightarrow{} \mathbb{R}^3[/texx] dada por [texx]\alpha(t)=\left(f(t),0,g(t)\right)[/texx] una curva diferenciable parametrizada regular plana, contenida en el plano [texx]y=0[/texx], la cual no corta el eje [texx]z[/texx], no tiene autointersecciones y f(t)>0. Sea [texx]S[/texx] el conjunto de [texx]\mathbb{R}^3[/texx] obtenido al rotar dicha curva alrededor del eje [texx]z[/texx], demostrar que [texx]S[/texx] es una superficie regular.

Tengo como candidato a parmetrización la aplicación diferenciable [texx]x:U\longrightarrow{}\mathbb{R}^3[/texx] dada por [texx]x(t,s)=\left(f(t)\cos(s), f(t)\sin(s),g(t)\right)[/texx] con [texx]U=I \times (0,2\pi)[/texx] (y para la curva que falta por cubrir, bastaría tomar la composición de una rotación respecto al eje [texx]z[/texx] con dicha aplicación como segunda parametrización).
He conseguido demostrar que la imagen de dicha aplicación es un abierto en el conjunto [texx]S[/texx], que es diferenciable por serlo [texx]\alpha[/texx], que su diferencial es inyectiva.
Mi problema viene al intentar primero ver la inyectividad de la aplicación y aun considerandola, la continuidad de la aplicación inversa.

Ten en cuenta que:

[texx]x(t,s)=x(t',s')\quad \Rightarrow{}\quad (f(t)cos(s),f(t)sin(s),g(t))=(f(t')cos(s'),f(t')sin(s'),g(t'))[/texx]

De ahí elevando al cuadrado y sumando las dos primeras componentes [texx]f(t)^2=f(t')^2[/texx] y dado que f toma valores positivos [texx]f(t)=f(t')[/texx]. Además como [texx]g(t)=g(t')[/texx] y la curva original no tiene autointersecciones, [texx]t=t'[/texx].

Volviendo a las dos primeras componentes tenemos ahora que [texx](cos(s),sin(s))=(cos(s'),sin(s'))[/texx] y por tanto [texx]s=s'[/texx].

En cuanto a la aplicación inversa la puedes hallar localmente de manera explícita.

Ten en cuenta en un entorno de un punto [texx](x_0,y_0,z_0)[/texx] de la imagen puedes recuperar s como:

[texx]s(x,y,z)=arctan(y/x)[/texx] ó [texx]s(x,y,z)=arccotan(x/y)[/texx]

dependiendo de si [texx]x[/texx] se anula o [texx]y [/texx]se anula (ambos no se anulan al mismo tiempo).

Y por otra parte dado que la curva es regular, para cada [texx]t_0[/texx] o bien [texx]f'(t_0)\neq 0[/texx] o bien [texx]g'(t_0)\neq 0[/texx] y así una de las dos es localmente invertible. Entonces:

o bien [texx]t(x,y,z)=g^{-1}(z)[/texx]

o bien [texx]t(x,y,z)=f^{-1}(\sqrt{x^2+y^2})[/texx]

Saludos.
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Eparoh
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« Respuesta #2 : 21/04/2018, 03:21:26 pm »

Muchas gracias por la amplia respuesta.
Todo claro  :guiño:
Un saludo
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