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Autor Tema: Ecuación con congruencias!  (Leído 880 veces)
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« : 16/04/2018, 11:59:54 pm »

Hola, alguien me puede ayudar con el siguiente ejercicio?

Encontrar las soluciones de la ecuación [texx]x^2-1\equiv{0} \pmod{35}[/texx]

Lo que hice fue pensar que [texx]x^2\equiv 1\pmod{35}[/texx] equivale a [texx]x^2\equiv{1}(mod 5)[/texx] y [texx]x^2\equiv{1} (mod7)[/texx], de la primera, saqué que las soluciones eran los [texx]x[/texx] de la forma [texx]5n+1[/texx] y [texx]5n+4[/texx] y de la segunda , los [texx]x[/texx] de la forma [texx]7n+1[/texx] y [texx]7n+6[/texx]. Y luego no sé exactamente como concluir  :indeciso:

Esta bien pensado así el ejercicio? Se puede hacer con el teorema chino del resto?

Agradezco su ayuda de antemano!
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La meta es el camino y el camino es la meta.


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« Respuesta #1 : 23/01/2019, 09:37:13 pm »

Hola
Siguiendo tu razonamiento, las soluciones de [texx]x^2\equiv{1}\,mod{\,5}[/texx] son 1 y 4. Prolongando estos dos números hasta 35, sumando de 5 en 5, obtenemos una lista (doble)
1, 6, 11, 16, 21, 26, 31
4, 9, 14, 19, 24, 29, 34

Las soluciones de   [texx]x^2\equiv{1}\,mod{\,7}[/texx] son 1 y 6; prolongando de 7 en 7 obtenemos la lista
1, 8, 15, 22, 29
6,13,20,27, 34

Los números comunnes a ambas listas son 1, 6, 29, 34
Esas son las soluciones de [texx]x^2\equiv{1}\,mod\,35[/texx]
Utilizando más resultados de congruencias, la respuesta será mas corta y elegante.
Aplicas el teorema chino del resto cuando usas que las soluciones modulo 35 son las que son a la vez soluciones módulo 5 y módulo 7
Espero que sea util, aunque ahora me he fijado en que han pasado muchos meses desde que preguntaste
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Yo amo los mundos sutiles, ingrávidos y gentiles, como pompas de jabón.
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