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Autor Tema: conjuntos  (Leído 215 veces)
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carixto
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« : 16/04/2018, 06:48:10 pm »

Hola...queria ver si me pueden echar una mano con esta demostración.

Sea [texx]S[/texx] la colección de todos los subconjuntos de un conjunto dado [texx]T[/texx]. Sea [texx]f: S\rightarrow \mathbb{R}[/texx] una funcion a valores reales definida en [texx]S[/texx]. Se dice que la función [texx] f[/texx] es aditiva si[texx] f( A\cup{B})= f(A)+f(B) [/texx]siempre que [texx]A[/texx] y[texx] B[/texx] sean subconjuntos disjuntos de [texx]T[/texx]. Si [texx]f[/texx] es aditiva, probar que ,para todo par de subconjuntos [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] se tiene:

[texx]f(A\cup{B})=f(A)+ f(B-A)[/texx]  y   [texx]f(A\cup{B})= f(A)+ f(B)-f(A\cap{B})[/texx]

Espero puedan ayudar,e

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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 17/04/2018, 07:39:45 am »

Hola

Por favor usa LaTeX para las fórmulas. Te lo he tenido que corregir.

Hola...queria ver si me pueden echar una mano con esta demostración.

Sea [texx]S[/texx] la colección de todos los subconjuntos de un conjunto dado [texx]T[/texx]. Sea [texx]f: S\rightarrow \mathbb{R}[/texx] una funcion a valores reales definida en [texx]S[/texx]. Se dice que la función [texx] f[/texx] es aditiva si[texx] f( A\cup{B})= f(A)+f(B) [/texx]siempre que [texx]A[/texx] y[texx] B[/texx] sean subconjuntos disjuntos de [texx]T[/texx]. Si [texx]f[/texx] es aditiva, probar que ,para todo par de subconjuntos [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] se tiene:

[texx]f(A\cup{B})=f(A)+ f(B-A)[/texx]  y   [texx]f(A\cup{B})= f(A)+ f(B)-f(A\cap{B})[/texx]

Para la primera nota que:

[texx]A\cup (B-A)=A\cup (B\cap A^c)=(A\cup B)\cap (A\cup A^c)=(A\cup B)\cap T=A\cup B[/texx]

y comprueba que [texx]A\cap (B-A)=\emptyset[/texx]. Luego aplica la definición de aditiva para los conjuntos [texx]A[/texx] y [texx]B-A.[/texx]

Para la segunda usa la igualdad anterior y que:

[texx](B-A)\cup (A\cap B)=B[/texx] y [texx](B-A)\cap (A\cap B)=\emptyset[/texx]

Saludos.
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