Supongamos entonces que [texx]x[/texx] es la parte real de [texx]z[/texx], entonces para la segunda integral tendríamos que C es la imagen de la parábola clásica [texx]x\mapsto x^2[/texx] para [texx]x\in[-1,1][/texx] en el plano complejo. Tal parábola se puede parametrizar como [texx]\gamma:[-1,1]\to\Bbb C,\, t\mapsto t+it^2[/texx], entonces
[texx]\displaystyle \int_C f(z)\, dz=\int_{-1}^1 (f\circ\gamma)(t)\gamma'(t) dt=\int_{-1}^1 f(t+it^2)(1+2it)\, dt=\int_{-1}^02(1+2it)\, dt+\int_0^1 6t(1+2it)\, dt=\ldots[/texx]
Para la otra integral lo que hacemos es simplificar y parametrizar el contorno
[texx]\displaystyle\oint\frac1{z^2+2iz^2}\, dz=\frac1{1+2i}\oint\frac1{z^2}\, dz=\frac{i}{1+2i}\int_0^{2\pi}\frac1{e^{it}}\, dt=\ldots[/texx]
donde hemos utilizado la parametrización del contorno [texx]\gamma:[0,2\pi]\to\Bbb C,\, t\mapsto e^{it}[/texx]. El resultado de la integral puede ser inmediato (sin necesidad de parametrizar el contorno) conociendo algunos teoremas de análisis complejo.
