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Autor Tema: Integral de Cauchy  (Leído 935 veces)
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« : 16/04/2018, 05:21:42 pm »

Hola amigos, soy nuevo con el tema de los foros, quisiera pedir su ayuda con la solución de 2 problemas, primero que nada si mi pregunta no va en el tema adecuado pido una disculpa.

Problema 1 es: [texx] \displaystyle\oint_{C} \frac{1}{z^2+2iz^2} ,dz [/texx] con teorema de Cauchy, el ejercicio proviene del libro introducción al análisis complejo con aplicaciones de Dennis G.zill segunda edición capituo 5 página 230 empieza el capitulo

Problema 2 es: [texx]  \displaystyle\oint_{C}  f(z), dz [/texx] donde  f(z) es 2 para x<0 y 6x para x>0 y C es la parabola [texx]  y=x^2 \ de \ z=-1+i  a z=1+i[/texx]; evaluar la integral compleja, el ejercicio también proviene del libro introduccón al análisis complejo con aplicaciones de Dennis G.zill segunda edición capituo 5 página 220 empieza el capítulo.

Por favor y muchas gracias
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« Respuesta #1 : 16/04/2018, 05:35:55 pm »

Faltaría aclarar cual es el contorno de la primera integral. De la segunda no queda claro si [texx]f[/texx] es una función compleja o real.
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« Respuesta #2 : 16/04/2018, 05:52:59 pm »

Lo lamento, de la primera es [texx] C: |z|= 1[/texx] y de la segunda es compleja
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« Respuesta #3 : 16/04/2018, 05:54:08 pm »

Faltaría aclarar cual es el contorno de la primera integral. De la segunda no queda claro si [texx]f[/texx] es una función compleja o real.

Lo lamento, de la primera es [texx] C:|z|=1[/texx] y de la segunda es compleja
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« Respuesta #4 : 16/04/2018, 06:58:12 pm »

Lo lamento, de la primera es [texx] C: |z|= 1[/texx] y de la segunda es compleja

Ok la primera, pero la segunda sigue sin estar clara la definición de [texx]f[/texx], ¿cuánto vale [texx]f(2+3i)[/texx] por ejemplo? Ahí sólo se menciona cuando "x" es mayor o menor a cero pero, ¿qué es "x" ahí? ¿La parte real de [texx]z[/texx]?
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« Respuesta #5 : 16/04/2018, 07:19:05 pm »

Lo lamento, de la primera es [texx] C: |z|= 1[/texx] y de la segunda es compleja

Ok la primera, pero la segunda sigue sin estar clara la definición de [texx]f[/texx], ¿cuánto vale [texx]f(2+3i)[/texx] por ejemplo? Ahí sólo se menciona cuando "x" es mayor o menor a cero pero, ¿qué es "x" ahí? ¿La parte real de [texx]z[/texx]?

Lo que pasa es que asi viene en el libro directamente hermano, adjunto una imagen del ejercicio directamente del libro

* Screenshot_2018-04-16-17-16-06.png (399.96 KB - descargado 29 veces.)
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« Respuesta #6 : 16/04/2018, 08:29:20 pm »

Supongamos entonces que [texx]x[/texx] es la parte real de [texx]z[/texx], entonces para la segunda integral tendríamos que C es la imagen de la parábola clásica [texx]x\mapsto x^2[/texx] para [texx]x\in[-1,1][/texx] en el plano complejo. Tal parábola se puede parametrizar como [texx]\gamma:[-1,1]\to\Bbb C,\, t\mapsto t+it^2[/texx], entonces

[texx]\displaystyle \int_C f(z)\, dz=\int_{-1}^1 (f\circ\gamma)(t)\gamma'(t) dt=\int_{-1}^1 f(t+it^2)(1+2it)\, dt=\int_{-1}^02(1+2it)\, dt+\int_0^1 6t(1+2it)\, dt=\ldots[/texx]

Para la otra integral lo que hacemos es simplificar y parametrizar el contorno

[texx]\displaystyle\oint\frac1{z^2+2iz^2}\, dz=\frac1{1+2i}\oint\frac1{z^2}\, dz=\frac{i}{1+2i}\int_0^{2\pi}\frac1{e^{it}}\, dt=\ldots[/texx]

donde hemos utilizado la parametrización del contorno [texx]\gamma:[0,2\pi]\to\Bbb C,\, t\mapsto e^{it}[/texx]. El resultado de la integral puede ser inmediato (sin necesidad de parametrizar el contorno) conociendo algunos teoremas de análisis complejo.
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« Respuesta #7 : 16/04/2018, 09:54:17 pm »

Muchisimas gracias brother!
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