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Autor Tema: ED homogénea de 2º orden  (Leído 510 veces)
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Frahan
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« : 16/04/2018, 10:29:55 am »

Llevo un par de días dándole vueltas a una ED, la cual obtengo un resultado diferente al que me dice el ejercicio que demuestre:

Comprobar que la ecuación diferencial [texx]\frac{d^2 y}{dx^2} ~=  -ky[/texx] tiene como solución [texx]y= Acos(kx) + Asin(kx)[/texx]

Me dispongo a resolver la ED
[texx]r^2 + k =0 ~~~~\rightarrow~~~~ r= ± i \sqrt{k}[/texx]

La solución a la homogénea tiene que ser de la forma:
[texx]y_h =c_1 e^{ir_1 x}  +  c_2 e^{ir_2 x} ~~~~\rightarrow~~~~  y_h =c_1 e^{ix \sqrt{k} }  +  c_2 e^{-ix\sqrt{k} } [/texx]

Mediante la fórmula de Euler:
[texx]y_h=c_1 [cos( x \sqrt{k}) + i sin( x \sqrt{k})] + c_2[cos( -x \sqrt{k}) + i sin( -x \sqrt{k})] ~~~~\rightarrow~~~~ y_h=(c_1+c_2)cos( x \sqrt{k}) + i(c_1-c_2) sin( x \sqrt{k})[/texx]

Identificando así [texx]A=(c_1+c_2) ~~~~ \textrm{y} ~~~~ B= i(c_1-c_2)[/texx]

Pero todavía me queda esa raíz dentro de las funciones trigonométricas que no logro encajar
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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #1 : 16/04/2018, 12:14:05 pm »

¿Por qué te complicas introduciendo [texx]i[/texx] en la exponencial? La ecuación característica es [texx]\lambda^2+k=0[/texx] con raíces [texx]\lambda= \pm \sqrt{k}i[/texx]. Según un conocido teorema, una base del espacio de las soluciones es [texx]\left\{{\cos  \sqrt{k}x, \sen  \sqrt{k}x}\right\}[/texx] con lo cual, la solución general es directamente [texx]y=A\cos  \sqrt{k}x+B\sen  \sqrt{k}x[/texx]. Te puede ser útil Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes.
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Abdulai
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« Respuesta #2 : 16/04/2018, 01:38:56 pm »

Llevo un par de días dándole vueltas a una ED, la cual obtengo un resultado diferente al que me dice el ejercicio que demuestre:

Comprobar que la ecuación diferencial [texx]\frac{d^2 y}{dx^2} ~=  -ky[/texx] tiene como solución [texx]y= Acos(kx) + Asin(kx)[/texx]

.........................

Pero todavía me queda esa raíz dentro de las funciones trigonométricas que no logro encajar

Ni lo vas a lograr, el enunciado está mal.   

O se comieron el cuadrado en  [texx]\frac{d^2 y}{dx^2} ~=  -k^2y[/texx]   

o la raíz en   [texx]y= A\cos(\sqrt{k}x) + B\sin(\sqrt{k}x)[/texx]
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pepiso
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« Respuesta #3 : 16/05/2018, 09:51:37 am »

Creo que tendrías que analizar el problema para los distintos valores posibles de K. Es decir, estamos suponiendo K>0 o no?? Pues, sí K>0 es como tú has dicho y el sistema fundamental viene dado por el comentado en los otros comentarios sí no, tendrías que dividir varios casos para que tuviera lógica.
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Samir M.
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I'm back^2.


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« Respuesta #4 : 16/05/2018, 01:21:03 pm »

Hola.

Puede ser de utilidad: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=86547.msg350323#msg350323

Saludos.
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[texx]d\omega(X,Y) = X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])[/texx]
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