Carlos Ivorra
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« Respuesta #3 : 16/04/2018, 01:28:35 pm » |
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La pregunta es bastante filosófica, luego en particular bastante ambigua. Por ejemplo, de la propia definición de función derivable compleja se sigue que las funciones holomorfas (que suponemos de clase [texx]C^1[/texx] por definición, aunque puede probarse que esta hipótesis es redundante) cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
¿Considerarías una respuesta aceptable si te digo que las propiedades particulares de las funciones holomorfas son consecuencia de que cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann?
Supongo que dirás: sí, ya sé que las cumplen, pero, ¿y qué?
Considera una función holomorfa [texx]f[/texx] definida en un abierto del plano complejo. En principio, haciendo [texx]z=x+iy[/texx] y [texx]f= Re f + i Im f[/texx], puedes considerarla como un par de funciones de dos variables reales. Considera ahora la forma diferencial [texx]\omega = f(z)\,dz[/texx], que puedes ver también como dos formas diferenciales en el sentido usual del análisis real. Concretamente:
[texx]\omega = (Re f + i Im f)(dx+i dy) = Re f\,dx-Im f\,dy+i(Im f\,dx+Re f\,dy)[/texx].
Ahora calcula su diferencial, en el sentido usual para formas diferenciales reales, entendida en este caso componente a componente:
[texx]d\omega = \frac{\partial Re f}{\partial y}\,dy\land dx-\frac{\partial Im f}{\partial x}\,dx\land dy+ i(\frac{\partial Im f}{\partial y}\,dy\land dx+\frac{\partial Re f}{\partial x}\,dx\land dy)[/texx] [texx]=-\left(\frac{\partial Re f}{\partial y}+\frac{\partial Im f}{\partial x}\right)\,dx\land dy+i\left(-\frac{\partial Im f}{\partial y}+\frac{\partial Re f}{\partial x}\right)\,dx\land dy[/texx].
Ahora, las ecuaciones de Cauchy Riemann equivalen a que [texx]d\omega = 0[/texx].
Así pues, las funciones holomorfas son precisamente las funciones que definen formas diferenciales cerradas (con parte real e imaginaria cerrada), y esto está en el corazón de los argumentos que demuestran sus propiedades básicas. Por ejemplo, esto permite aplicarles (componente a componente) el teorema de Stokes, que te asegura que la integral de una función holomorfa [texx]\int_{\partial \Omega}f(z)\,dz[/texx] sobre la frontera de cualquier abierto en [texx]\mathbb C[/texx] es nula (porque por el teorema de Stokes es igual a la integral sobre [texx]\Omega[/texx] de [texx]d(f(z)\,dz)=0[/texx]).
Eso es justo lo que hace falta para demostrar la fórmula integral de Cauchy, y de ella, al expresar una función holomorfa como integral de otra, se deduce por derivación bajo el signo integral que las funciones holomorfas son infinitamente derivables (que es una diferencia esencial con el caso real).
Más aún, desarrollando en serie geométrica el integrando de la fórmula integral de Cauchy sale que toda función holomorfa es analítica, es decir, se expresa en un entorno de cada punto como una serie de potencias, lo cual a su vez es lo que explica el parecido entre las funciones holomorfas y los polinomios del que hablo en la introducción de mi libro de variable compleja. En particular, la existencia de desarrollos en serie implica fácilmente el principio de prolongación analítica, así como la posibilidad de definir el orden de un cero en una función holomorfa, que a su vez relaciona dicho orden con la inyectividad local y con el teorema de la aplicación abierta, y de todo ello se sigue el principio del módulo máximo.
Por otro lado, el lema de Poincaré afirma que las formas diferenciales cerradas sobre abiertos estrellados (y luego se generaliza a abiertos simplemente conexos) son exactas, es decir, que si [texx]f[/texx] es una función holomorfa en un abierto estrellado (o en particular convexo o más en general, simplemente conexo), existe otra función [texx]g[/texx], que es fácil ver que tiene que ser holomorfa, tal que [texx]f(z)\,dz = dg= g'(z)\,dz[/texx], de donde se sigue que las funciones holomorfas tienen primitiva en los abiertos simplemente conexos, lo cual es otra propiedad fundamental de las funciones holomorfas, que implica entre otras cosas, la fórmula de Cauchy (la integral de una función holomorfa en un dominio simplemente conexo sobre un arco contenido en dicho dominio es nula).
Todo esto configura el "sabor peculiar" de las funciones holomorfas, y, en cierto sentido, puede considerarse consecuencia del hecho de que las formas diferenciales holomorfas son cerradas, que es otra forma de enunciar las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
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