¿Por qué las funciones holomorfas se comportan de esta forma?

[micabua]

Hola,

He empezado a estudiar variable compleja hace poco y me sorprenden muchas de las propiedades que tienen las funciones holomorfas en comparación a las funciones diferenciables de [texx]\mathbb{R}^2[/texx] (como por ejemplo el principio del módulo máximo). Mi pregunta es la siguiente: ¿A partir de qué momento se da esta diferencia? No sé si se debe a la estructura de [texx]\mathbb{C}[/texx] o a la propia definición de función [texx]\mathbb{C}[/texx] -derivable (puesto que en el denominador tenemos un término complejo a diferencia de un módulo de un vector en el caso de las funciones diferenciables de [texx]\mathbb{R}^2[/texx]).

Gracias.

[Fernando Revilla]

Bienvenido al foro.

Con respecto a tu pregunta, mira la introducción del libro Funciones de variable compleja del moderador de este foro Carlos Ivorra.

[micabua]

Bienvenido al foro.

Con respecto a tu pregunta, mira la introducción del libro Funciones de variable compleja del moderador de este foro Carlos Ivorra.

Gracias Fernando.

De hecho he estado leyendo este libro hace unos días. Y es verdad que en la introducción habla de las diferencias entre ambas, pero no veo el que explique cuál es la razón, o al menos no la he encontrado.

[Carlos Ivorra]

La pregunta es bastante filosófica, luego en particular bastante ambigua. Por ejemplo, de la propia definición de función derivable compleja se sigue que las funciones holomorfas (que suponemos de clase [texx]C^1[/texx] por definición, aunque puede probarse que esta hipótesis es redundante) cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

¿Considerarías una respuesta aceptable si te digo que las propiedades particulares de las funciones holomorfas son consecuencia de que cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann?

Supongo que dirás: sí, ya sé que las cumplen, pero, ¿y qué?

Considera una función holomorfa [texx]f[/texx] definida en un abierto del plano complejo. En principio, haciendo [texx]z=x+iy[/texx] y [texx]f= Re f + i Im f[/texx], puedes considerarla como un par de funciones de dos variables reales. Considera ahora la forma diferencial [texx]\omega = f(z)\,dz[/texx], que puedes ver también como dos formas diferenciales en el sentido usual del análisis real. Concretamente:

[texx]\omega = (Re f + i Im f)(dx+i dy) = Re f\,dx-Im f\,dy+i(Im f\,dx+Re f\,dy)[/texx].

Ahora calcula su diferencial, en el sentido usual para formas diferenciales reales, entendida en este caso componente a componente:

[texx]d\omega = \frac{\partial Re f}{\partial y}\,dy\land dx-\frac{\partial Im f}{\partial x}\,dx\land dy+ i(\frac{\partial Im f}{\partial y}\,dy\land dx+\frac{\partial Re f}{\partial x}\,dx\land dy)[/texx] [texx]=-\left(\frac{\partial Re f}{\partial y}+\frac{\partial Im f}{\partial x}\right)\,dx\land dy+i\left(-\frac{\partial Im f}{\partial y}+\frac{\partial Re f}{\partial x}\right)\,dx\land dy[/texx].

Ahora, las ecuaciones de Cauchy Riemann equivalen a que [texx]d\omega = 0[/texx].

Así pues, las funciones holomorfas son precisamente las funciones que definen formas diferenciales cerradas (con parte real e imaginaria cerrada), y esto está en el corazón de los argumentos que demuestran sus propiedades básicas. Por ejemplo, esto permite aplicarles (componente a componente) el teorema de Stokes, que te asegura que la integral de una función holomorfa [texx]\int_{\partial \Omega}f(z)\,dz[/texx] sobre la frontera de cualquier abierto en [texx]\mathbb C[/texx] es nula (porque por el teorema de Stokes es igual a la integral sobre [texx]\Omega[/texx] de [texx]d(f(z)\,dz)=0[/texx]).

Eso es justo lo que hace falta para demostrar la fórmula integral de Cauchy, y de ella, al expresar una función holomorfa como integral de otra, se deduce por derivación bajo el signo integral que las funciones holomorfas son infinitamente derivables (que es una diferencia esencial con el caso real).

Más aún, desarrollando en serie geométrica el integrando de la fórmula integral de Cauchy sale que toda función holomorfa es analítica, es decir, se expresa en un entorno de cada punto como una serie de potencias, lo cual a su vez es lo que explica el parecido entre las funciones holomorfas y los polinomios del que hablo en la introducción de  mi libro de variable compleja. En particular, la existencia de desarrollos en serie implica fácilmente el principio de prolongación analítica, así como la posibilidad de definir el orden de un cero en una función holomorfa, que a su vez relaciona dicho orden con la inyectividad local y con el teorema de la aplicación abierta, y de todo ello se sigue el principio del módulo máximo.

Por otro lado, el lema de Poincaré afirma que las formas diferenciales cerradas sobre abiertos estrellados (y luego se generaliza a abiertos simplemente conexos) son exactas, es decir, que si [texx]f[/texx] es una función holomorfa en un abierto estrellado (o en particular convexo o más en general, simplemente conexo), existe otra función [texx]g[/texx], que es fácil ver que tiene que ser holomorfa, tal que [texx]f(z)\,dz = dg= g'(z)\,dz[/texx], de donde se sigue que las funciones holomorfas tienen primitiva en los abiertos simplemente conexos, lo cual es otra propiedad fundamental de las funciones holomorfas, que implica entre otras cosas, la fórmula de Cauchy (la integral de una función holomorfa en un dominio simplemente conexo sobre un arco contenido en dicho dominio es nula).

Todo esto configura el "sabor peculiar" de las funciones holomorfas, y, en cierto sentido, puede considerarse consecuencia del hecho de que las formas diferenciales holomorfas son cerradas, que es otra forma de enunciar las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

[Fernando Revilla]

Un comentario más general, cursi y lacónico: las diferencias entre el análisis real y complejo provienen de la naturaleza de las cosas, y no de nuestras espectativas "a priori".

[micabua]

¿Considerarías una respuesta aceptable si te digo que las propiedades particulares de las funciones holomorfas son consecuencia de que cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann?

De hecho sabía que todo lo posterior venía en parte de esto. Releyendo algunas cosas me he dado cuenta que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se satisfacen en consecuencia a la definición del producto en [texx]\mathbb{C}[/texx] y a la propia definición de derivada.

Sea [texx]\Omega[/texx] un abierto de [texx]\mathbb{C}[/texx]  y [texx]f:\Omega \rightarrow \mathbb{C}[/texx] una función. Si [texx]z_0 \in \Omega[/texx] entonces [texx]f[/texx] es [texx]\mathbb{C}[/texx]-derivable en [texx]z_0[/texx] si existe:

[texx]\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=f'(z_0)[/texx]

Aquí la clave de todo es que el [texx]h[/texx] que aparece es un complejo y no un módulo de un vector como en [texx]\mathbb{R}^2[/texx] (si fuera esta la definición nos cargamos toda la teoría). Esto hace que en todas las direcciones la derivada sea la misma y en particular considerando [texx]h=h_1 \in \mathbb{R}[/texx]  y [texx]h=i \cdot h_2 [/texx] con [texx]h_2\in \mathbb{R}[/texx]. De aquí se sacan las ecuaciones de Cauchy-Riemann utilizando la multiplicación de [texx]\mathbb{C}[/texx] y por tanto todo lo que has comentado.

En definitiva, era lo que pensaba: usando la estructura de [texx]\mathbb{C}[/texx] y debido a la definición de derivada.

Un comentario más general, cursi y lacónico: las diferencias entre el análisis real y complejo provienen de la naturaleza de las cosas, y no de nuestras espectativas "a priori".

Justo eso.

Muchas gracias a ambos!

Saludos.

[Masacroso]

La gran diferencia es que una función complejo diferenciable es holomorfa, es decir, analítica (además se cumple por tanto que la derivada de una función compleja siempre es continua). Sin embargo en funciones en [texx]\Bbb R[/texx] esto evidentemente no ocurre.

Otra propiedad significativa de las funciones holomorfas es que el radio de convergencia de sus series de Taylor es la distancia mínima desde el punto desde el que se hace la serie a alguna singularidad de la función (=punto donde la función no puede ser extendida analíticamente). Esto quiere decir que las series de potencias de funciones enteras tienen infinito radio de convergencia.

El motivo de todo esto, aunque yo no lo tengo muy claro tampoco, está relacionado con el hecho de que el diferencial de una función holomorfa es siempre cerrado, que es justamente lo mismo que decir que cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Lo que no es tan obvio es que esto suponga que la función es analítica. Pero todo esto se puede ver, como dice Ivorra, de la fórmula integral de Cauchy.