Integral sobre tetraedro

[Naoj]

Sea [texx]S[/texx] el tetraedro en [texx]\mathbb{R}^{3}[/texx] con vértices [texx](0,0,0),(1,2,3),(0,1,2),(-1,2,1)[/texx]. Evalue [texx]\int_{S}f[/texx], donde [texx]f(x,y,z)=x+2y-z[/texx].

Yo pienso que debo considerar ciertos límites para evaluar una integral triple, pero no sé cuales serían los límites correctos.

[Luis Fuentes]

Hola

Sea [texx]S[/texx] el tetraedro en [texx]\mathbb{R}^{3}[/texx] con vértices [texx](0,0,0),(1,2,3),(0,1,2),(-1,2,1)[/texx]. Evalue [texx]\int_{S}f[/texx], donde [texx]f(x,y,z)=x+2y-z[/texx].

Yo pienso que debo considerar ciertos límites para evaluar una integral triple, pero no sé cuales serían los límites correctos.

En general para hacer una integral sobre un tetraedro de vértices [texx]A,B,C,D[/texx] es cómodo hacer el cambio de variable:

[texx](x,y,z)=A+p(B-A)+q(C-A)+r(D-A)[/texx]

con límites:

[texx]0\leq p\leq 1[/texx]
[texx]0\leq q\leq 1-p[/texx]
[texx]0\leq r\leq 1-p-q[/texx]

Saludos.

[Naoj]

Siguiendo tu idea, entonces
[texx](x,y,z) = (0,0,0)+p(1,2,3)+q(0,1,2)+r(-1,2,1) = (p-r,2p+q+2r,3p+2q+r)[/texx] (no comprendo bien esta igualdad de vectores que me indica)
Por tanto la integral debería ser,
[texx]\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-p}\int_{0}^{1-p-q}f(p-r,2p+q+2r,3p+2q+r) =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-p}\int_{0}^{1-p-q}((p-r)+2(2p+q+2r)-(3p+2q+r)) dpdqdr[/texx]

Es correcto el planteamiento? Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Siguiendo tu idea, entonces
[texx](x,y,z) = (0,0,0)+p(1,2,3)+q(0,1,2)+r(-1,2,1) = (p-r,2p+q+2r,3p+2q+r)[/texx] (no comprendo bien esta igualdad de vectores que me indica)

Mira por aquí:

https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_baric%C3%A9ntricas_(n-simplex)

Por tanto la integral debería ser,
[texx]\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-p}\int_{0}^{1-p-q}f(p-r,2p+q+2r,3p+2q+r) =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-p}\int_{0}^{1-p-q}((p-r)+2(2p+q+2r)-(3p+2q+r)) dpdqdr[/texx]

¿Has aplicado la fórmula de cambio de variable mutliplicando por el determinante del Jacobiano de las transformación?. No.

El orden de las [texx]dpdqdr[/texx] lo has puesto además al contrario.

Saludos.

[Naoj]

He entendido un poco mejor:

Sea  [texx]T(p,q,r)=(p-r,2p+q+2r,3p+2q+r)[/texx]. Entonces,
[texx]f(T(p,q,r))=p-r+2(2p+q+2r)-(3p+2q+r)=2(p+r)[/texx] y [texx]\det{(T(p,q,r))=\begin{bmatrix}1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 2  \\ 3 & 2 & 1\end{bmatrix}} = -4[/texx]
Luego, por el teorema de cambio de variable tenemos que

[texx]\int_{0}^{1-p-q}\int_{0}^{1-p}\int_{0}^{1}f(T(p,q,r))\det{(T(p,q,r))}dpdqdr = \int_{0}^{1-p-q}\int_{0}^{1-p}\int_{0}^{1}2(p+r)(-4)dpdqdr[/texx]

Dime que está correcto

[hméndez]

He entendido un poco mejor:

Sea  [texx]T(p,q,r)=(p-r,2p+q+2r,3p+2q+r)[/texx]. Entonces,
[texx]f(T(p,q,r))=p-r+2(2p+q+2r)-(3p+2q+r)=2(p+r)[/texx] y [texx]\det{(T(p,q,r))=\begin{bmatrix}1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 2  \\ 3 & 2 & 1\end{bmatrix}} = -4[/texx]
Luego, por el teorema de cambio de variable tenemos que

[texx]\int_{0}^{1-p-q}\int_{0}^{1-p}\int_{0}^{1}f(T(p,q,r))\det{(T(p,q,r))}dpdqdr = \int_{0}^{1-p-q}\int_{0}^{1-p}\int_{0}^{1}2(p+r)(-4)dpdqdr[/texx]

Dime que está correcto

Casi...

1) Las integrales se escriben como lo hiciste en tu respuesta #2, lo que debes cambiar es el orden de los diferenciales, debe ser [texx]dr\,dq\,dp[/texx] .

2) En realidad el integrando se multiplica por el valor absoluto del determinante del Jacobiano de la transformación o sea [texx]\left |{-4}\right |=4[/texx]

Saludos

[Naoj]

Muchas gracias!