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Noticias: Homenaje a NUMERARIUS
 
 
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Autor Tema: Estudio de funciones  (Leído 298 veces)
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sugata
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« Respuesta #20 : 17/04/2018, 04:06:12 pm »

Pregunta lo que quieras.

Vamos a ver.
La derivada de un cociente es:

[texx]\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) ^{\prime}=\dfrac{f^{\prime}(x)g(x)-g^{\prime}(x)f(x)}{(g(x))^2}[/texx]

El tema es que en este caso, el numerador es un producto de funciones.
Es decir.
[texx]f(x)=p(x)q(x)[/texx]
Luego su derivada es:
[texx]f^{\prime}(x)=p^{\prime}(x)q(x)+q^{\prime}(x)p(x)[/texx]

Ahora solo tengo que coger esta expresión y sustituir en la derivada de la fracción.

Vamos a partir de aquí.
Vamos a determinar quién es quién.
[texx]p(x)=e^{1/x}\\q(x)=(x-1)\\f(x)=p(x)q(x)=e^{1/x}(x-1)\\g(x)=x\\f^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{x^2}e^{1/x}(x-1)+e^{1/x}[/texx]

Entonces, numerador derivado por DENOMINADOR (x) sin derivar, MENOS denominador derivado (1) por numerador sin derivar, dividido por DENOMINADOR AL CUADRADO.

En mayúsculas he puesto tus dudas.
Es una derivada un poco liosa que hay que hacer despacio.
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dario_oasis
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« Respuesta #21 : 17/04/2018, 07:22:28 pm »

No la tenía bien en clara esa propiedad, cual Es? O sólo es una derivación en cadena? No lo tengo claro, porque el denominador se hacía al cuadrado cuando era cociente ,tenía enrendido..y como.saco los puntos de inflexión con ese choclo largo que me quedo??
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sugata
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« Respuesta #22 : 17/04/2018, 07:27:20 pm »

Sólo tienes que derivar.

[texx] f'(x)=\displaystyle\frac{e^{1/x }(x-1)}{x}
 [/texx]

Lo único que al derivar el numerador, al tener un producto, tendrás que derivarlo como tal.

¿Dónde encuentras el escollo?

Es que esto es un cociente  y se usa

Vamos a ver.
La derivada de un cociente es:

[texx]\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) ^{\prime}=\dfrac{f^{\prime}(x)g(x)-g^{\prime}(x)f(x)}{(g(x))^2}[/texx]

El tema es que en este caso, el numerador es un producto de funciones.
Es decir.
[texx]f(x)=p(x)q(x)[/texx]
Luego su derivada es:
[texx]f^{\prime}(x)=p^{\prime}(x)q(x)+q^{\prime}(x)p(x)[/texx]

Ahora solo tengo que coger esta expresión y sustituir en la derivada de la fracción.

Y como te digo, en el numerador tenemos un producto y derivamos con la regla de la cadena.
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dario_oasis
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« Respuesta #23 : 17/04/2018, 07:30:55 pm »

Ahora si me cierra muchas gracias por tu paciencia sugata, y ahora pAra calcular los puntos de inflexión?
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #24 : 17/04/2018, 07:34:30 pm »

Derivada del cociente:

Derivada del cociente
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sugata
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« Respuesta #25 : 17/04/2018, 07:38:23 pm »

Ahora si me cierra muchas gracias por tu paciencia sugata, y ahora pAra calcular los puntos de inflexión?

Haz los cálculos multiplicando la x y luego puedes sacar factor común [texx]e^{1/x}[/texx]

No he hecho los cálculos, pero si te lo piden, debería quedar una expresión razonable.
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sugata
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« Respuesta #26 : 17/04/2018, 08:08:01 pm »

Si no me equivoco, tienes inflexión en [texx]\cancel{x=-2}[/texx]
Al final no queda una cosa muy complicada.

Editado tras cálculos posteriores.
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dario_oasis
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« Respuesta #27 : 17/04/2018, 08:32:36 pm »

Perd on para mi si quedo algo muy complicado, no me lo podrías hacer y no te molesto más?
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sugata
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« Respuesta #28 : 17/04/2018, 08:59:58 pm »

Me voy a encargar solo del numerador.
[texx]-x\dfrac{1}{x^2}(x+1)e^{1/x}+xe^{1/x}-e^{1/x}(x-1)[/texx]
Saco factor común.
[texx]e^{1/x}(-\dfrac{1}{x}(x-1)+x-x+1)[/texx]
Me olvido la exponencial que siempre es positiva y me encargo del paréntesis.

(Estoy viendo que sí me equivoqué en los cálculos anteriores así que no se que dará )

[texx]\dfrac{-x+1}{x}+1=\dfrac{-x+1+x}{x}=\dfrac{1}{x}[/texx]

Que cambia de signo en x=0, pero ahí no está definida la función.

Recuperando lo que habíamos dejado Tenemos:

[texx]f^{\prime \prime}(x)=\dfrac{e^{1/x}}{x^3}[/texx]
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dario_oasis
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« Respuesta #29 : 17/04/2018, 09:22:34 pm »

No entendí esto ultimo

[texx]\displaystyle\frac{e^{1/x}}{x^3}[/texx] porque x a la 3?
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sugata
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« Respuesta #30 : 17/04/2018, 09:46:00 pm »

En el paréntesis terminamos viendo que quedaba [texx]\dfrac{1}{x}[/texx]

Con lo que en el numerador nos quedaría, recuperando el exponencial

[texx]\dfrac{e^{1/x}}{x}[/texx]

Ahora recuerda que en el denominador teníamos un x cuadrado.

Entonces.

[texx]\dfrac{\dfrac{e^{1/x}}{x}}{x^2}=\dfrac{e^{1/x}}{x^3}[/texx]

No te lo tomes a mal, pero deberías repasar los cálculos básicos (sacar factor común es básico en las derivadas de cocientes), y repasar un poco más las derivadas.
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feriva
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« Respuesta #31 : 18/04/2018, 11:15:37 am »

Darío, si te viene más cómodo también puedes escribir la expresión de la derivada así

[texx]e^{\frac{1}{x}}\cdot(x-1)\cdot x^{-1}
 [/texx]

por distributiva puedes dejarlo en

[texx]e^{\frac{1}{x}}\cdot(1-x^{-1})
 [/texx] y tienes dos factores para aplicar la derivada de un producto.

La derivada de [texx]e^{\frac{1}{x}}
 [/texx] es [texx]e^{\frac{1}{x}}(-x^{-2})=-e^{\frac{1}{x}}x^{-2}
 [/texx], y la de [texx]1-x^{-1}
 [/texx] es la misma que la de [texx]-x^{-1}
 [/texx], o sea [texx]x^{-2}
 [/texx]; entonces por la regla del producto tienes

[texx]-e^{\frac{1}{x}}x^{-2}(1-x^{-1})+e^{\frac{1}{x}}x^{-2}
 [/texx]

Eso ya es la derivada, te vale para hacer cuentas; se puede dejar más simple y es conveniente, pero si te lías y no tienes seguridad, como tú la quieras “para el campo”, como el del chiste, pues ya la tienes.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Sin embargo, es muy fácil de simplificar sacando factor común

[texx]e^{\frac{1}{x}}x^{-2}\left(-(1-x^{-1})+1\right)=e^{\frac{1}{x}}x^{-2}(x^{-1})=e^{\frac{1}{x}}x^{-3}
 [/texx]

Editado, que había puesto los signos de los coeficientes al revés

Saludos.
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