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Autor Tema: Estudio de funciones  (Leído 299 veces)
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dario_oasis
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« : 15/04/2018, 01:51:58 am »

Hola como están me ayudan con este ejercicio?

Analizar máximos y o mínimos si existen, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, intervalos de consabidas concavidad y convexidad de la siguiente función:
[texx]f (x)=xe^{1/x}[/texx]
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sugata
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« Respuesta #1 : 15/04/2018, 01:54:56 am »

[texx]f(x)=xe^{1/x}[/texx]
¿Es ésta la función?
Para elevar a una expresión usa llaves.
f(x)=xe^{1/x}

El ejercicio es sistemático. Derivas y analizas signos.
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dario_oasis
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« Respuesta #2 : 15/04/2018, 05:12:30 am »

Si es esa la función x por e a la 1/x, es que intente derivderivar y no me sale,o sea se que hay que hacer derivada del producto u'.v+i.v' pero no se como derivó el v'..
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sugata
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« Respuesta #3 : 15/04/2018, 06:26:46 am »

Mira por aquí.
https://www.vitutor.com/fun/4/b_3.html
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dario_oasis
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« Respuesta #4 : 15/04/2018, 04:07:54 pm »

Muchas gracias sugata, así está bien?

[texx]f'(x)=e^{1/x}+x.-\displaystyle\frac{1}{x^2}.e^{1/x}[/texx]
[texx]f'(x)=e^{1/x}-\displaystyle\frac{e^{1/x}}{x}[/texx]

[texx]f'(x)=\displaystyle\frac{xe^{1/x}-e^{1/x}}{x}[/texx]

[texx]f'(x)=\displaystyle\frac{e^{1/x }(x-1)}{x}[/texx]

[texx]e^{1/x}(x-1)=0[/texx]
[texx]x-1=0[/texx]
[texx]x=1[/texx]

[texx](-\infty,0)(0,1)[/texx] máximo

[texx](0,1)(1,\infty)[/texx] mínimo

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sugata
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« Respuesta #5 : 15/04/2018, 04:51:14 pm »

No lo he revisado bien, estoy trabajando.
Revisa bien en cero que puede haber una asíntota.
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dario_oasis
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« Respuesta #6 : 15/04/2018, 04:54:18 pm »

En cero hay asíntota vertical porque para el cero no está definida la función no?
 igual cuando puedas revisarlo te agradecere si me dices si aplique bien las propiedades y eso para sacar maximos y minimos..
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sugata
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« Respuesta #7 : 15/04/2018, 05:15:45 pm »

Cuidado, no estar definida no implica asíntota.
¿Cuál es el límite cuando x tiende a cero de [texx]\dfrac{x^2}{x}[/texx] ?
Las cuentas las tienes bien, lo que no me gusta es como lo expresas.
Cuando igualas a cero la derivada quitas el denominador, entonces no es la derivada. Quita el [texx]f^{\prime}(x)[/texx] y trabaja sólo con el numerador.
Y los máximos y mínimos son puntos, no intervalos.
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dario_oasis
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« Respuesta #8 : 15/04/2018, 06:22:13 pm »

ok muchas gracias Sugata ahora lo corrijo...
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sugata
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« Respuesta #9 : 15/04/2018, 07:18:56 pm »

Vamos a arreglar el final.
La función decrece:
[texx]f^{\prime}(x)<0\ \forall x\in{} \{(0,1)\}[/texx]
Análogo con la función crece.
[texx]f^{\prime}(x)>0\ \forall x\in{} \{(-\infty,0)\cup{}(1,\infty)\}[/texx]

Luego tendremos que analizar que le pasa a la función en 0.
Y sabemos que tiene un mínimo en [texx](1,e)[/texx]
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dario_oasis
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« Respuesta #10 : 15/04/2018, 10:33:39 pm »

Disculpen, y como quedaría la segunda derivada de esa función para sacar sus puntos de inflexión? No logro encontrar pie con bola,espero que me puedan ayudar por favor..
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sugata
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« Respuesta #11 : 15/04/2018, 11:45:42 pm »

Tienes que buscar el límite de la función original cuando x tiende a 0. Si el límite es infinito, tenemos asíntota vertical.
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« Respuesta #12 : 16/04/2018, 12:12:06 am »

Ok muchas gracias sugata
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« Respuesta #13 : 17/04/2018, 03:02:42 am »

Disculpen y como saco la segunda derivada de esa función para encontrar sus puntos de inflexión? Lo intente de muchas maneras y nunca llegó al resultado algo debo estar haciendo mal, espero que puedan ayudarme , muchas gracias!!!
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sugata
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« Respuesta #14 : 17/04/2018, 03:55:10 am »

Sólo tienes que derivar.

[texx] f'(x)=\displaystyle\frac{e^{1/x }(x-1)}{x}
 [/texx]

Lo único que al derivar el numerador, al tener un producto, tendrás que derivarlo como tal.

¿Dónde encuentras el escollo?
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« Respuesta #15 : 17/04/2018, 12:21:10 pm »

Yo lo derivaba como cociente, está mal No? Quedaría así,

[texx]\displaystyle\frac{ e^{1/x}(x-1)+e^{1/x}}{x}[/texx]

[texx]\displaystyle\frac{e^{1/x}(x+1)+1}{x}[/texx]

Y ahora como sigo?
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« Respuesta #16 : 17/04/2018, 02:05:07 pm »

Vamos a ver.
La derivada de un cociente es:

[texx]\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) ^{\prime}=\dfrac{f^{\prime}(x)g(x)-g^{\prime}(x)f(x)}{(g(x))^2}[/texx]

El tema es que en este caso, el numerador es un producto de funciones.
Es decir.
[texx]f(x)=p(x)q(x)[/texx]
Luego su derivada es:
[texx]f^{\prime}(x)=p^{\prime}(x)q(x)+q^{\prime}(x)p(x)[/texx]

Ahora solo tengo que coger esta expresión y sustituir en la derivada de la fracción.
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« Respuesta #17 : 17/04/2018, 03:04:27 pm »

En el paso de arriba lo hice use derivderivada del producto pero después de ahí me trabe...
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« Respuesta #18 : 17/04/2018, 03:19:20 pm »

Sólo tienes que derivar.

[texx] f'(x)=\displaystyle\frac{e^{1/x }(x-1)}{x}
 [/texx]

Lo único que al derivar el numerador, al tener un producto, tendrás que derivarlo como tal.

¿Dónde encuentras el escollo?

Me autocito para tener a mano la función.

[texx]\left( f'(x)=\displaystyle\frac{e^{1/x }(x-1)}{x} \right) ^{\prime}=\displaystyle\frac{(-\dfrac{1}{x^2}e^{1/x }(x-1)+e^{1/x})x-(e^{1/x}(x-1)}{x^2}
 [/texx]

Cualquier duda, ya sabes.
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« Respuesta #19 : 17/04/2018, 03:53:22 pm »

Perdona que te pregunte pero hasta el primer signo + lo seguí después No se porque multiplicaste por x y después restante, y abajo al cuadrado (cuando la derivada de x es 1)como que usaste la propiedad de la multiplicación y la del cociente..
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