Prueba \(\;f\;\) toma todo valor en \(\;\big[f(a),M\big)\cup{\big(m,f(a)\big]}\)

[Buscón]

Sea    [texx]f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    continua, pongamos    [texx]M=máx\;f\big([a,b]\big)[/texx],   [texx]m=mín\;f\big([a,b]\big)[/texx]    y supongamos que

[texx]f(a)=f(b)[/texx]    y que    [texx]m<f(a)<M[/texx].    Prueba que    [texx]f[/texx]    toma todo valor de    [texx]\big[f(a),M\big)\cup{\big(m,f(a)\big]}[/texx]    en

al menos dos puntos de    [texx][a,b][/texx].

[delmar]

Hola Buscón

Una forma para [texx][f(a),M][/texx] :   

[texx]\exists{\ c}\in{(a,b)} \ / \ f(c)=M[/texx]

f es continua en [texx][a,c][/texx] implica que f toma todos los valores entre [texx][f(a),M][/texx] en [texx][a,c][/texx]

En consecuencia para un [texx]y\in{(f(a),M)}, \ \exists{x_1}\in{(a,c)} \ / \ f(x_1)=y[/texx]

f es continua en [texx][c,b][/texx] implica que f toma todos los valores entre [texx][f(a),M][/texx] en [texx][c,b][/texx]

En consecuencia para un [texx]y\in{(f(a),M)}, \ \exists{x_2}\in{(c,b)} \ / \ f(x_2)=y[/texx]

Por lo tanto [texx]\forall{y}\in{(f(a),M)},\exists{x_1,x_2}\in{[a,b]} \ / \ f(x_1)=f(x_2)=y[/texx], obviamente pueden haber más valores. Para [texx]f(a)[/texx] también existen dos valores por lo menos [texx]a,b[/texx]. Ojo para M no necesariamente, es el caso en que hay máximo en un solo punto.

Semejante para [texx][m,f(a)][/texx]


Saludos

[Buscón]

Hay que darse cuenta que    [texx]\big[f(a),M)\cup{(m,f(a)\big]}=\big(m,f(a)\big]\cup{\big[f(a),M\big)}=\big(m,M\big)[/texx]

Las hipótesis nos dicen que    [texx]\exists\;{u,v}\in{[a,b]}[/texx]    tal que    [texx]f(u)=m[/texx]    y    [texx]f(v)=M[/texx].    Al tratarse de una función y ser    [texx]m\neq{M}[/texx],    deberá ser     [texx]u\neq{v}[/texx].    Sean    [texx]u[/texx]    y    [texx]v[/texx]    los puntos que piden.

Suponiendo    [texx]u<v[/texx],   bastará considerar    [texx]a=v[/texx]    y la función    [texx]g(x)=máx\;f\big([a,x]\big)[/texx],    [texx]\forall{x\in{[a,b]}}[/texx]    para estar en el mismo caso que aquí

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=102963.msg408502#msg408502

lo que prueba que la función toma todos los valores del intervalo    [texx][m,M][/texx]    entre    [texx]u[/texx]    y    [texx]v[/texx].

Faltará ver que ocurre si    [texx]u>v[/texx]. ¿O podría considerarse análogo por simetría y ya está?

¿Correcto? Saludos.

EDITADO.

[Buscón]

Hola Buscón

Una forma para [texx][f(a),M][/texx] :   

[texx]\exists{\ c}\in{(a,b)} \ / \ f(c)=M[/texx]

f es continua en [texx][a,c][/texx] implica que f toma todos los valores entre [texx][f(a),M][/texx] en [texx][a,c][/texx]

En consecuencia para un [texx]y\in{(f(a),M)}, \ \exists{x_1}\in{(a,c)} \ / \ f(x_1)=y[/texx]

f es continua en [texx][c,b][/texx] implica que f toma todos los valores entre [texx][f(a),M][/texx] en [texx][c,b][/texx]

En consecuencia para un [texx]y\in{(f(a),M)}, \ \exists{x_2}\in{(c,b)} \ / \ f(x_2)=y[/texx]

Por lo tanto [texx]\forall{y}\in{(f(a),M)},\exists{x_1,x_2}\in{[a,b]} \ / \ f(x_1)=f(x_2)=y[/texx], obviamente pueden haber más valores. Para [texx]f(a)[/texx] también existen dos valores por lo menos [texx]a,b[/texx]. Ojo para M no necesariamente, es el caso en que hay máximo en un solo punto.

Semejante para [texx][m,f(a)][/texx]


Saludos

Creo que no es lo que piden. ¿O si?

Saludos y gracias.

[Juan Pablo Sancho]

Otro camino:  Sea [texx] y \in (f(a) , M) [/texx] entonces existe [texx] u \in (a,b)[/texx] verificando:

[texx] M = f(u) [/texx] sea ahora:
[texx] g(x) = f(x) - y [/texx] tenemos que [texx] g(a) = f(a) - y  < 0 [/texx] y [texx] g(u) = f(u) -y > 0 [/texx]
[texx] g(u) = f(u) - y > 0 [/texx] y [texx] g(b) = f(b) - y = f(a) - y < 0 [/texx]

Sea [texx] s \in (m,f(a)) [/texx] entonces existe [texx] t [/texx] verificando :

[texx] m = f(t) [/texx] sea ahora:

[texx] g(x) = f(x) - s [/texx] entonces [texx] g(a) = f(a) - s > 0 [/texx] y [texx] g(t) = f(t) -s < 0 [/texx]

[texx]g(t) = f(t) - s < 0 [/texx] y [texx] g(b) = f(b) - s = f(a) - s > 0 [/texx].

Y se toma los intervalos abiertos por que es evidente que por hipótesis [texx] f(a) = f(b) [/texx] 

Editado

Pero si hice lo mismo que delmar en su primera respuesta pero con más tontería.

[Luis Fuentes]

Hola

Creo que no es lo que piden. ¿O si?

Saludos y gracias.

Si, si es lo que piden.

Que una función continua en un cerrado toma todos los valores entre su máximo y su mínimo es consecuencia directa del teorema de los valores intermedios; la novedad del ejercicio es probar que bajo las hipótesis inidicadas toma cada valor al menos dos veces.

Saludos.

[Buscón]

Hola

Creo que no es lo que piden. ¿O si?

Saludos y gracias.

Si, si es lo que piden.

Que una función continua en un cerrado toma todos los valores entre su máximo y su mínimo es consecuencia directa del teorema de los valores intermedios; la novedad del ejercicio es probar que bajo las hipótesis inidicadas toma cada valor al menos dos veces.

Saludos.

Ah, vale gracias, retomo el planteamiento entonces.

Un saludo.

[Buscón]

Otra posibilidad, aunque viene siendo la que apunta delmar.    

Considerando las funciones

   •    [texx]g(x)=máx\;f\big([a,x]\big)[/texx]    para    [texx]x\in{[a,b]}[/texx]    y

   •    [texx]h(x)=mín\;f\big([a,x]\big)[/texx],   para    [texx]x\in{[M,b]}[/texx]

ambas son continuas en    [texx][f(a),M\big)[/texx],    [texx]g[/texx]    creciente y    [texx]h[/texx]    decreciente.

Análogamente considerando   

   •   [texx]\gamma(x)=\color{red}mín\color{black}\;f\big([a,x]\big)[/texx]   para    [texx]x\in{[a,b]}[/texx]    y

   •   [texx]\lambda(x)=\color{red}máx\color{black}\;f\big([m,x]\big)[/texx]    para    [texx]x\in{[m,b]}[/texx]

continuas igualmente en    [texx]\big(m,f(a)\big][/texx],    [texx]\gamma[/texx]    decreciente y    [texx]\lambda[/texx]    creciente.

Saludos.

P.D. Usando esto http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=102963.msg408502#msg408502,

       existen    [texx]u,v,s,t\in{[a,b]}[/texx]    tal que    [texx]g(u)=h(v)=f\big(\{u,v\}\big)[/texx]    y    [texx]\gamma(s)=\lambda(t)=f\big(\{s,t\}\big)[/texx].

CORREGIDO.

[Luis Fuentes]

Hola

P.D. Usando esto http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=102963.msg408502#msg408502,

       existen    [texx]u,v,s,t\in{[a,b]}[/texx]    tal que    [texx]g(u)=h(v)=f\big(\{u,v\}\big)[/texx]    y    [texx]\gamma(s)=\lambda(t)=f\big(\{s,t\}\big)[/texx].

CORREGIDO.

No me queda totalmente claro como usas el resultado que enlazas para probar lo que afirmas después.

Saludos.

[Buscón]

Hola

P.D. Usando esto http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=102963.msg408502#msg408502,

       existen    [texx]u,v,s,t\in{[a,b]}[/texx]    tal que    [texx]g(u)=h(v)=f\big(\{u,v\}\big)[/texx]    y    [texx]\gamma(s)=\lambda(t)=f\big(\{s,t\}\big)[/texx].

CORREGIDO.

No me queda totalmente claro como usas el resultado que enlazas para probar lo que afirmas después.

Saludos.

[texx]\Big[\forall\;{u\in{\big[f(a),M\big)}}.\exists\;{t_u\in{[a,b]}}:\;\color{green}g(t_u)=f(t_u)=u\color{black}\Big]\Longrightarrow{\Big[g:[a,b]\longrightarrow{\big[f(a),M\big)}\;\;\;\textrm{continua}\Big]}[/texx]

entonces    [texx]g[/texx]    toma todos los valores en    [texx]\big[f(a),M\big)[/texx]    y es creciente

[texx]\Big[\forall\;{v\in{\big(M,f(b)\big]}}.\exists\;{t_v\in{\color{red}\big(f^{-1}\color{black}(M),b\big]}}:\;\color{green}h(t_v)=f(t_v)=v\color{black}\Big]\Longrightarrow{\Big[h:\color{red}\big(f^{-1}\color{black}(M),b\big]\longrightarrow{\big[f(b),M\big)}\;\;\;\textrm{continua}\Big]}[/texx]

entonces   [texx]h[/texx]    toma todos lo valores en    [texx]\big[f(b),M\big)[/texx]    y es decreciente.

Como    [texx]f(a)=f(b)[/texx],    [texx]f[/texx]    toma al menos dos veces el mismo valor, una vez en    [texx]t_u[/texx]    y otra en    [texx]t_v[/texx].

Para    [texx]\gamma[/texx]    y    [texx]\lambda[/texx]    es análogo. 

Espero no haber metido la pata.

Saludos y muchos thankyous, le debo a usted bastante más que un café. Espero no me pase factura.


CORREGIDO.

[guillem_dlc]

Consideremos la función continua: [texx]g(x)=f(x)-f(a)[/texx]

Sus extremos absolutos son: [texx]m-f(a)<0[/texx] y [texx]M-f(a)>0[/texx] respectivamente.

Como [texx]f(a)=f(b)>m, f(a)=f(b)<M[/texx] y [texx]g(a)=g(b)=0[/texx]

Por el Teorema de Weierstrass, [texx]\exists x_1,x_2 \in (a,b), x_1\neq x_2: f(x_1)=m, f(x_2)=M[/texx]. Supongamos que [texx]x_1<x_2\rightarrow g(x_1)<0, g(x_2)>0[/texx] y por el teorema de Bolzano, [texx]\exists c\in (x_1,x_2): g(c)=0[/texx]

Sea [texx]y_0\in (m,f(a)]\rightarrow y_0-f(a)\in (m-f(a),0), g(a)=0, g(x_1)=m-f(a)[/texx] y por el teorema de Darboux, [texx]\exists c_1\in (a,x_1): g(c_1)=y_0-f(a)\rightarrow f(c_1)-f(a)=y_0-f(a)\rightarrow f(c_1)=y_0[/texx]

[texx]g(x_1)=m-f(a), g(c)=0[/texx] y por el teorema de Darboux, [texx]\exists c_2\in (x_1, c): g(c_2)=y_0-f(a)\rightarrow f(c_2)-f(a)=y_0-f(a)\rightarrow f(c_2)=y_0[/texx] y, además [texx]c_1\neq c_2[/texx]

Proceso análogo para [texx]y_0\in [f(a), M)[/texx], tomando [texx](c,x_2)[/texx] y [texx](x_2,b)[/texx]. Y también todo es análogo si suponemos [texx]x_1>x_2[/texx].

Saludos