Buscón
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« : 14/04/2018, 08:32:55 pm » |
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Sea [texx]f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx] continua, pongamos [texx]M=máx\;f\big([a,b]\big)[/texx], [texx]m=mín\;f\big([a,b]\big)[/texx] y supongamos que
[texx]f(a)=f(b)[/texx] y que [texx]m<f(a)<M[/texx]. Prueba que [texx]f[/texx] toma todo valor de [texx]\big[f(a),M\big)\cup{\big(m,f(a)\big]}[/texx] en
al menos dos puntos de [texx][a,b][/texx].
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delmar
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« Respuesta #1 : 14/04/2018, 09:22:03 pm » |
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Hola Buscón
Una forma para [texx][f(a),M][/texx] :
[texx]\exists{\ c}\in{(a,b)} \ / \ f(c)=M[/texx]
f es continua en [texx][a,c][/texx] implica que f toma todos los valores entre [texx][f(a),M][/texx] en [texx][a,c][/texx]
En consecuencia para un [texx]y\in{(f(a),M)}, \ \exists{x_1}\in{(a,c)} \ / \ f(x_1)=y[/texx]
f es continua en [texx][c,b][/texx] implica que f toma todos los valores entre [texx][f(a),M][/texx] en [texx][c,b][/texx]
En consecuencia para un [texx]y\in{(f(a),M)}, \ \exists{x_2}\in{(c,b)} \ / \ f(x_2)=y[/texx]
Por lo tanto [texx]\forall{y}\in{(f(a),M)},\exists{x_1,x_2}\in{[a,b]} \ / \ f(x_1)=f(x_2)=y[/texx], obviamente pueden haber más valores. Para [texx]f(a)[/texx] también existen dos valores por lo menos [texx]a,b[/texx]. Ojo para M no necesariamente, es el caso en que hay máximo en un solo punto.
Semejante para [texx][m,f(a)][/texx]
Saludos
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Buscón
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« Respuesta #2 : 15/04/2018, 08:10:06 am » |
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Hay que darse cuenta que [texx]\big[f(a),M)\cup{(m,f(a)\big]}=\big(m,f(a)\big]\cup{\big[f(a),M\big)}=\big(m,M\big)[/texx] Las hipótesis nos dicen que [texx]\exists\;{u,v}\in{[a,b]}[/texx] tal que [texx]f(u)=m[/texx] y [texx]f(v)=M[/texx]. Al tratarse de una función y ser [texx]m\neq{M}[/texx], deberá ser [texx]u\neq{v}[/texx]. Sean [texx]u[/texx] y [texx]v[/texx] los puntos que piden. Suponiendo [texx]u<v[/texx], bastará considerar [texx]a=v[/texx] y la función [texx]g(x)=máx\;f\big([a,x]\big)[/texx], [texx]\forall{x\in{[a,b]}}[/texx] para estar en el mismo caso que aquí lo que prueba que la función toma todos los valores del intervalo [texx][m,M][/texx] entre [texx]u[/texx] y [texx]v[/texx]. Faltará ver que ocurre si [texx]u>v[/texx]. ¿O podría considerarse análogo por simetría y ya está? ¿Correcto? Saludos. EDITADO.
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Buscón
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« Respuesta #3 : 15/04/2018, 08:17:03 am » |
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Hola Buscón
Una forma para [texx][f(a),M][/texx] :
[texx]\exists{\ c}\in{(a,b)} \ / \ f(c)=M[/texx]
f es continua en [texx][a,c][/texx] implica que f toma todos los valores entre [texx][f(a),M][/texx] en [texx][a,c][/texx]
En consecuencia para un [texx]y\in{(f(a),M)}, \ \exists{x_1}\in{(a,c)} \ / \ f(x_1)=y[/texx]
f es continua en [texx][c,b][/texx] implica que f toma todos los valores entre [texx][f(a),M][/texx] en [texx][c,b][/texx]
En consecuencia para un [texx]y\in{(f(a),M)}, \ \exists{x_2}\in{(c,b)} \ / \ f(x_2)=y[/texx]
Por lo tanto [texx]\forall{y}\in{(f(a),M)},\exists{x_1,x_2}\in{[a,b]} \ / \ f(x_1)=f(x_2)=y[/texx], obviamente pueden haber más valores. Para [texx]f(a)[/texx] también existen dos valores por lo menos [texx]a,b[/texx]. Ojo para M no necesariamente, es el caso en que hay máximo en un solo punto.
Semejante para [texx][m,f(a)][/texx]
Saludos
Creo que no es lo que piden. ¿O si? Saludos y gracias.
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #4 : 15/04/2018, 12:39:23 pm » |
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Otro camino: Sea [texx] y \in (f(a) , M) [/texx] entonces existe [texx] u \in (a,b)[/texx] verificando: [texx] M = f(u) [/texx] sea ahora: [texx] g(x) = f(x) - y [/texx] tenemos que [texx] g(a) = f(a) - y < 0 [/texx] y [texx] g(u) = f(u) -y > 0 [/texx] [texx] g(u) = f(u) - y > 0 [/texx] y [texx] g(b) = f(b) - y = f(a) - y < 0 [/texx] Sea [texx] s \in (m,f(a)) [/texx] entonces existe [texx] t [/texx] verificando : [texx] m = f(t) [/texx] sea ahora: [texx] g(x) = f(x) - s [/texx] entonces [texx] g(a) = f(a) - s > 0 [/texx] y [texx] g(t) = f(t) -s < 0 [/texx] [texx]g(t) = f(t) - s < 0 [/texx] y [texx] g(b) = f(b) - s = f(a) - s > 0 [/texx]. Y se toma los intervalos abiertos por que es evidente que por hipótesis [texx] f(a) = f(b) [/texx] EditadoPero si hice lo mismo que delmar en su primera respuesta pero con más tontería. 
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #5 : 15/04/2018, 12:50:49 pm » |
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Hola Creo que no es lo que piden. ¿O si?
Saludos y gracias.
Si, si es lo que piden. Que una función continua en un cerrado toma todos los valores entre su máximo y su mínimo es consecuencia directa del teorema de los valores intermedios; la novedad del ejercicio es probar que bajo las hipótesis inidicadas toma cada valor al menos dos veces. Saludos.
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« Respuesta #6 : 15/04/2018, 12:57:10 pm » |
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Hola Creo que no es lo que piden. ¿O si?
Saludos y gracias.
Si, si es lo que piden. Que una función continua en un cerrado toma todos los valores entre su máximo y su mínimo es consecuencia directa del teorema de los valores intermedios; la novedad del ejercicio es probar que bajo las hipótesis inidicadas toma cada valor al menos dos veces. Saludos. Ah, vale gracias, retomo el planteamiento entonces. Un saludo.
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« Respuesta #7 : 15/04/2018, 07:02:34 pm » |
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Otra posibilidad, aunque viene siendo la que apunta delmar. Considerando las funciones • [texx]g(x)=máx\;f\big([a,x]\big)[/texx] para [texx]x\in{[a,b]}[/texx] y • [texx]h(x)=mín\;f\big([a,x]\big)[/texx], para [texx]x\in{[M,b]}[/texx] ambas son continuas en [texx][f(a),M\big)[/texx], [texx]g[/texx] creciente y [texx]h[/texx] decreciente. Análogamente considerando • [texx]\gamma(x)=\color{red}mín\color{black}\;f\big([a,x]\big)[/texx] para [texx]x\in{[a,b]}[/texx] y • [texx]\lambda(x)=\color{red}máx\color{black}\;f\big([m,x]\big)[/texx] para [texx]x\in{[m,b]}[/texx] continuas igualmente en [texx]\big(m,f(a)\big][/texx], [texx]\gamma[/texx] decreciente y [texx]\lambda[/texx] creciente. Saludos. P.D. Usando esto http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=102963.msg408502#msg408502, existen [texx]u,v,s,t\in{[a,b]}[/texx] tal que [texx]g(u)=h(v)=f\big(\{u,v\}\big)[/texx] y [texx]\gamma(s)=\lambda(t)=f\big(\{s,t\}\big)[/texx]. CORREGIDO.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #8 : 16/04/2018, 07:17:16 am » |
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Hola No me queda totalmente claro como usas el resultado que enlazas para probar lo que afirmas después. Saludos.
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Buscón
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« Respuesta #9 : 16/04/2018, 08:22:54 am » |
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Hola No me queda totalmente claro como usas el resultado que enlazas para probar lo que afirmas después. Saludos. [texx]\Big[\forall\;{u\in{\big[f(a),M\big)}}.\exists\;{t_u\in{[a,b]}}:\;\color{green}g(t_u)=f(t_u)=u\color{black}\Big]\Longrightarrow{\Big[g:[a,b]\longrightarrow{\big[f(a),M\big)}\;\;\;\textrm{continua}\Big]}[/texx] entonces [texx]g[/texx] toma todos los valores en [texx]\big[f(a),M\big)[/texx] y es creciente [texx]\Big[\forall\;{v\in{\big(M,f(b)\big]}}.\exists\;{t_v\in{\color{red}\big(f^{-1}\color{black}(M),b\big]}}:\;\color{green}h(t_v)=f(t_v)=v\color{black}\Big]\Longrightarrow{\Big[h:\color{red}\big(f^{-1}\color{black}(M),b\big]\longrightarrow{\big[f(b),M\big)}\;\;\;\textrm{continua}\Big]}[/texx] entonces [texx]h[/texx] toma todos lo valores en [texx]\big[f(b),M\big)[/texx] y es decreciente. Como [texx]f(a)=f(b)[/texx], [texx]f[/texx] toma al menos dos veces el mismo valor, una vez en [texx]t_u[/texx] y otra en [texx]t_v[/texx]. Para [texx]\gamma[/texx] y [texx]\lambda[/texx] es análogo. Espero no haber metido la pata. Saludos y muchos thankyous, le debo a usted bastante más que un café. Espero no me pase factura. CORREGIDO.
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guillem_dlc
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« Respuesta #10 : 16/04/2018, 12:18:44 pm » |
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Consideremos la función continua: [texx]g(x)=f(x)-f(a)[/texx]
Sus extremos absolutos son: [texx]m-f(a)<0[/texx] y [texx]M-f(a)>0[/texx] respectivamente.
Como [texx]f(a)=f(b)>m, f(a)=f(b)<M[/texx] y [texx]g(a)=g(b)=0[/texx]
Por el Teorema de Weierstrass, [texx]\exists x_1,x_2 \in (a,b), x_1\neq x_2: f(x_1)=m, f(x_2)=M[/texx]. Supongamos que [texx]x_1<x_2\rightarrow g(x_1)<0, g(x_2)>0[/texx] y por el teorema de Bolzano, [texx]\exists c\in (x_1,x_2): g(c)=0[/texx]
Sea [texx]y_0\in (m,f(a)]\rightarrow y_0-f(a)\in (m-f(a),0), g(a)=0, g(x_1)=m-f(a)[/texx] y por el teorema de Darboux, [texx]\exists c_1\in (a,x_1): g(c_1)=y_0-f(a)\rightarrow f(c_1)-f(a)=y_0-f(a)\rightarrow f(c_1)=y_0[/texx]
[texx]g(x_1)=m-f(a), g(c)=0[/texx] y por el teorema de Darboux, [texx]\exists c_2\in (x_1, c): g(c_2)=y_0-f(a)\rightarrow f(c_2)-f(a)=y_0-f(a)\rightarrow f(c_2)=y_0[/texx] y, además [texx]c_1\neq c_2[/texx]
Proceso análogo para [texx]y_0\in [f(a), M)[/texx], tomando [texx](c,x_2)[/texx] y [texx](x_2,b)[/texx]. Y también todo es análogo si suponemos [texx]x_1>x_2[/texx].
Saludos
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