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Autor Tema: Series  (Leído 472 veces)
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dario_oasis
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« : 14/04/2018, 05:02:24 pm »

Hola como están? me ayudan con este ejercicio?

Estudiar si la serie converge  diverge:


[texx]\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{n!}{n^{100}} [/texx]
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #1 : 14/04/2018, 06:05:00 pm »

La serie diverge, deberías poner [texx]\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{n!}{n^{100}} [/texx]

Pon el criterio de  d'Alembert, para ver su divergencia.
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dario_oasis
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« Respuesta #2 : 14/04/2018, 07:37:35 pm »

Muchas gracias por responder ahí corrijo eso, yo lo hice por el criterio del cociente y me dio que es absurdo no sé si lo aplique bien al método:

[texx]\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}= \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{(n+1)!}{(n+1)^{100}}}{\displaystyle\frac{n!}{n^{100}}}}[/texx]=[texx] \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}\displaystyle\frac{\cancel{(n+1)\cancel{!}}\cancel{n^{100}}}{\cancel{(n+1)^{100}}\cancel{n!}}[/texx]

Absurdo...Por favor me decís si está bien? o me lo corregís espero que me puedas ayudar, muchas gracias!!
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 15/04/2018, 09:42:28 am »

Hola

Muchas gracias por responder ahí corrijo eso, yo lo hice por el criterio del cociente y me dio que es absurdo no sé si lo aplique bien al método:

[texx]\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}= \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{(n+1)!}{(n+1)^{100}}}{\displaystyle\frac{n!}{n^{100}}}}[/texx]=[texx] \color{red}\displaystyle\lim_{x \to{}\infty}\displaystyle\frac{\cancel{(n+1)\cancel{!}}\cancel{n^{100}}}{\cancel{(n+1)^{100}}\cancel{n!}}\color{black}[/texx]

Absurdo...Por favor me decís si está bien? o me lo corregís espero que me puedas ayudar, muchas gracias!!

Pues el principio está bien, pero lo que has puesto en rojo es un disparate.

¿Cómo se supone que has simplificado ahí?. ¿El ! de arriba con el ! de abajo? ¿El [texx]n+1[/texx] con el [texx]n+1[/texx]?. ¿El [texx]^{100}[/texx] con el [texx]^{100}[/texx]?. Si es así está mal... es un horror.

En cualquier caso si estuviese bien la simplificación no daría un absurdo, sino un cociente igual a [texx]1[/texx].

Si operas correctamente teniendo en cuenta que:

[texx]\dfrac{(n+1)!}{n!}=n+1[/texx]

[texx]\dfrac{(n+1)^{100}}{n^{100}}>1[/texx]

te queda que el límite es [texx]+\infty[/texx] y por tanto no converge.

Por otra parte hay una forma más fácil de ver la NO convergencia. El término general ni siquiera converge a cero, es decir:

[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{n!}{n^{100}}=+\infty\neq 0[/texx]

Saludos.
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dario_oasis
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« Respuesta #4 : 15/04/2018, 03:23:08 pm »

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\displaystyle\frac{(n+1)n^{100}}{(n+1)^{100}}}      [/texx]

Me quedo así simplificado y eso da más infinito?
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #5 : 15/04/2018, 03:42:00 pm »

Tienes que es [texx]n \to +\infty[/texx] y no [texx] x \to +\infty [/texx]

[texx]\displaystyle \dfrac{(n+1) \cdot n^{100}}{(n+1)^{100}} = (n+1) \cdot (\dfrac{n}{n+1})^{100} [/texx]

Y [texx] \displaystyle \lim_{n \to +\infty} (\dfrac{n}{n+1})^{100} = 1 [/texx].
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dario_oasis
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« Respuesta #6 : 15/04/2018, 04:44:09 pm »

Muchas gracias Juan pablo
Perdón que insista pero no me doy cuenta que se puede separar en términos así sacar el (n+1) y multiplicarlo por el (n/n+1) a la 100...Es alguna propiedad esa? porque en un final nunca se me hubiera ocurrido hacer eso...
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #7 : 15/04/2018, 05:11:39 pm »

Por un lado he usado que [texx] \dfrac{ab}{c} = a \cdot \dfrac{b}{c} [/texx].

Donde [texx] a = n+1 ,b = n^{100} , c = (n+1)^{100} [/texx]

Por otro lado usé que [texx] \dfrac{d^n}{f^n} = (\dfrac{d}{f})^n [/texx]
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