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Autor Tema: Problema distancia entre rectas y planos  (Leído 338 veces)
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miquifq
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« : 14/04/2018, 03:13:29 pm »

Hola, buenas tardes! Estoy hace 3 dias trabada con un ejercicio que no logro avanzar porque no se como resolverlo y no logro encontrar una explicacion por ningun lado, si alguien podria ayudarme, rindo examen el lunes y me estoy volviendo loca!!! aqui va:

Consideren los planos:
[texx]\Pi = \{x\in \mathbb{R}^3: x = \lambda(−2, 1, 1)+\mu(0, −3, 4)+(5, −1, 0), \lambda, \mu \in \mathbb{R}\}[/texx] y
[texx]\Pi_1 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : 7x + 8y + 6z = −2\}[/texx].

a) Verifiquen que Π y Π1 son paralelos.

b) Construyan una recta L perpendicular a ambos planos y calculen [texx]P = L \cap\Pi[/texx] y [texx]Q = L \cap \Pi_1 [/texx]

c) Calculen d(P, Q).


Muchisimas gracias!
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delmar
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« Respuesta #1 : 14/04/2018, 04:17:58 pm »

Hola, miquifiq

Bienvenida al foro.

a)

Dos planos son paralelos, si  sus vectores normales forman un ángulo de 0 o 180º, es decir si son paralelos.

¿(-2,1,1) y (0, −3, 4) están incluidos por el plano [texx]\Pi[/texx], es decir son la diferencia de los vectores posición de dos puntos del plano [texx]\Pi[/texx]? La respuesta es sí.


[texx]\vec{n}=(-2,1,1) \times  (0, −3, 4)[/texx], es decir el producto vectorial de los dos vectores tiene la propiedad de ser perpendicular a ambos vectores, es decir al plano [texx]\Pi[/texx]

El vector de  los coeficientes de las variables de la ecuación de un plano, es decir  el vector  (7,8,6) tiene la propiedad de ser normal al plano [texx]\Pi_1\Rightarrow{\vec{n}_1=(7,8,6)}[/texx] es perpendicular a [texx]\Pi_1[/texx].

Ahora sí ¿Cuál es el ángulo entre los dos vectores normales?¿son paralelos?

En caso afirmativo queda verificado
b)

Una recta L perpendicular a ambos planos queda determinada, por un vector normal a ambos planos tomado como vector dirección y por cualquier punto del espacio.

Con esto puedes avanzar y resolver  el resto de interrogantes. Pregunta si no entiendes y muestra tus avances.

Saludos
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miquifq
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« Respuesta #2 : 15/04/2018, 05:22:39 pm »

Hola! No estaria sabiendo como plantear el punto B, logre que me de el A! pero con el B sigo confundida!

Muchisimas gracias por la ayuda!
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sugata
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« Respuesta #3 : 15/04/2018, 05:36:12 pm »

Sabemos que un vector perpendicular a los planos es [texx](7,8,6)[/texx]
Ahora eliges un punto cualquiera y montas la recta. Las intersecciones se hallan igualando recta y plano.
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