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Autor Tema: Factorización de enteros por diferencia de números triangulares  (Leído 4481 veces)
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« : 11/04/2018, 12:02:15 pm »

FACTORIZACIÓN DE ENTEROS POR DIFERENCIA DE NÚMEROS TRIANGULARES

MAURICIO ACERO PATIÑO

1. RESUMEN
Este artículo aplica un método que he desarrollado, basado en el teorema de factorización de enteros de Fermat, pero reemplazando los números al cuadrado por números triangulares. [texx](T_a - T_b)=n[/texx] Este método es más eficiente que la diferencia de cuadrados, cuando la razón entre los dos factores es mayor a 1.5 y menos eficiente cuando esta razón es menor a 1.5; y alcanza su máxima eficiencia cuando la razón entre factores es cercana a 2.

2. ÁREA
Teoría de números

3. NÚMEROS TRIANGULARES
 Son aquellos que se van componiendo con la forma de un triangulo equilátero. (1,3,6,10,15,21...) son de la forma: [texx](x(x+1))/2[/texx]

4. EXPLICACIÓN DEL MÉTODO:
Se aplica mediante los siguientes pasos:

a) Dado un número [texx]n[/texx] se toma la parte entera del resultado de ([texx]\sqrt[ ]{n}*\sqrt[ ]{2}[/texx]) Este sería el [texx]a[/texx] propuesto de la ecuación [texx](T_a - T_b)=n[/texx] (el subindice de [texx]T[/texx] representa el número triangular al que nos referimos [texx]T_x=(x(x+1))/2 [/texx] Ejemplo: [texx]T_3=(3(3+1))/2=6[/texx]

b) Se comprueba si es una diferencia de triangulares aplicando: [texx](T_a-n)=T_b[/texx] en donde si el resultado de restar [texx]n[/texx] de [texx]T_a[/texx] es un número triangular entonces se ha encontrado la diferencia de triangulares, de lo contrario se va modificando el valor de [texx]a[/texx] en 1+ hasta obtener una diferencia de triangulares.

c) Después de obtener la diferencia de triangulares se aplica [texx](a-b)[/texx] y [texx](a+b+1)[/texx] los resultados son los factores de [texx]n[/texx] (si un resultado es par se divide entre 2).

Nota: Para comprobar si un número es número triangular le hallo la raíz cuadrada y la multiplico por raíz de [texx]2[/texx]. Y reemplazo la parte entera de este resultado por [texx]x[/texx] en la ecuación: [texx]T_x=(x(x+1))/2[/texx] y el resultado debe ser el mismo número inicial. Por ejemplo para saber si [texx]78[/texx] es número triangular aplico: [texx](\sqrt[ ]{78}*\sqrt[ ]{2})=12,48[/texx] tomo la parte entera que es [texx]12[/texx]  la reemplazo por  [texx]x[/texx]  y obtengo: [texx](12(12+1))/2=78[/texx]  por lo tanto  [texx]78=T_{12}[/texx]

5. EJEMPLO
[texx]n=49855027[/texx]

a) Se calcula ([texx]\sqrt[ ]{49855027}*\sqrt[ ]{2})=9985,49[/texx] y se toma la parte entera [texx]9985[/texx]

b) [texx](T_a-n)=T_b\rightarrow{}[/texx] se desarrolla el triangular  [texx]T_{9985}-49855027=T_b[/texx]   [texx]T_{9985}=(9985(9985+1))/2=49855105\rightarrow{}[/texx]  y se reemplaza en la ecuación  [texx](49855105-49855027)=78[/texx]  y  [texx]78[/texx]  es un número triangular. es:  [texx]T_{12}[/texx]  ya que  [texx](12(12+1))/2=78[/texx]

c) Se resulve [texx](a-b)\rightarrow{}(9985-12)=9973[/texx]  Se ha hallado el primer factor de n y el otro factor es [texx](a+b+1)\rightarrow{}(9985+12+1)=9998[/texx]  como ha dado número par se divide en 2   [texx](9998/2)=4999[/texx]  y de esta manera se han obtenido los dos factores de  [texx]n[/texx]   [texx](9973*4999)=49855027[/texx]

6. OTROS EJEMPLOS

[texx]\cdot{}91[/texx]  es  [texx]T_{13}-T_0[/texx]   
[texx](13-0)=13[/texx]   [texx](13+0+1)=14[/texx]   [texx](14/2)=7[/texx] 
También es  [texx]T_{16}-T_9[/texx]   
[texx](16-9)=7[/texx]   [texx](16+9+1)=26[/texx]   [texx](26/2)=13[/texx]

[texx]\cdot{}121[/texx]  es  [texx]T_{16}-T_5[/texx]   
[texx](16-5)=11[/texx]   [texx](16+5+1)=22[/texx]   [texx](22/2)=11[/texx]

[texx]\cdot{}243333313[/texx]  es  [texx]T_{22063}-T_{362}[/texx]   
[texx](22063-362)=21701[/texx]   [texx](22063+362+1)=22426[/texx]   [texx](22426/2)=11213[/texx]

[texx]\cdot{}935[/texx]  es  [texx]T_{44}-T_{10}[/texx]   
[texx](44-10)=34[/texx]   [texx](34/2)=17[/texx]   [texx](44+10+1)=55[/texx] 
También es  [texx]T_{53}-T_{31}[/texx]
[texx](53-31)=22[/texx]   [texx](22/2)=11[/texx]   [texx](53+31+1)=85[/texx] 
y  [texx]T_{63}-T_{46}[/texx]   
[texx](63-46)=17[/texx]   [texx](63+46+1)=110[/texx]   [texx](110/2)=55[/texx]
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« Respuesta #1 : 11/04/2018, 12:35:50 pm »

¿Por qué abres el mismo hilo dos veces?

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=102965.msg408505#msg408505
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