20/08/2019, 07:31:05 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: ¡Atención! Hay que poner la matemática con LaTeX, y se hace así (clic aquí):
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: UTF (n=4): Otro intento de prueba (descenso rápido)  (Leído 823 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Fernando Moreno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 175



Ver Perfil
« : 22/09/2018, 12:57:33 pm »

Separado de aquí.


Hola, 2 demostraciones más. Las he adjetivado como de "descenso rápido" (*) :


[ 11va. ]  -No es correcta-


Supongo que  [texx]\pmb{z^4=x^2+y^4}[/texx] ,  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos dos a dos;  " [texx]y[/texx] " ,  por ejemplo, par.

Estrategia: Me doy cuenta que en  [texx]\mathbb{Z}[ i ][/texx]  " [texx]2[/texx] "  es el asociado de un cuadrado:  " [texx]i^3(1+i)^2[/texx] " .

De esta manera: [texx] z^4=(x+y^{2}i)(x-y^{2}i)[/texx] .  Como ambos factores son coprimos entonces serán cuartas potencias y existirán unos:

[texx](u+vi)^4=(x+y^{2}i)[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx](u-vi)^4=(x-y^{2}i)[/texx] ,  para  [texx]u,v[/texx]  enteros, coprimos, uno de ellos par.

Si desarrollamos:  [texx](u+vi)^4\,=\,u^4+4u^3vi+6u^uv^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4\,=\,(x+y^{2}i)[/texx] ;  entonces:

[texx]x=u^4+v^4-6u^2v^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]y^2i\,=\,4u^3vi+4uv^3i^3\,=\,4uv(u^2-v^2)i[/texx]

Por lo que:

[texx](u+vi)^4-(u-vi)^4\,=\,8uv(u^2-v^2)i\,=\,2y^2i\,=\,i^3(1+i)^2y^2i\,=\,i^4(1+i)^2y^2\,=\,(1+i)^2y^2[/texx]

Si llamo ahora:  [texx]a=u+vi[/texx]   ,   [texx]b=(1+i)y[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]c=u-vi[/texx]

Entonces:  [texx]a^4-c^4=b^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\pmb{a^4=b^2+c^4}[/texx] .  Y puedo repetir este procedimiento sin fin. Pudiendo afirmar además que a partir de un momento dado las  [texx]u',v'[/texx]  correspondientes no serán enteras.


[ 12va. ]  -No es correcta-


Supongo que  [texx]\pmb{z^{4}=x^{4}+y^{2}}[/texx] ,  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos dos a dos;  “ [texx]x[/texx] “ ,  por ejemplo, par.

Estrategia: Me doy cuenta que en  [texx]\mathbb{Z}[ i ][/texx]  " [texx]2[/texx] "  es el asociado de un cuadrado:  " [texx]i^3(1+i)^2[/texx] " .

De esta manera:  [texx](z^2)^{2}=(x^2)^{2}+(y)^{2}[/texx]  y serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:

[texx]z^{2}=p^{2}+q^{2}[/texx]   ;   [texx]x^{2}=2pq[/texx]   ;   [texx]y=p^{2}-q^{2}[/texx] ;  para  [texx]p,q[/texx]  enteros, coprimos y uno de ellos par.

Como:  [texx]x=\sqrt{2pq}[/texx] ;  entonces:  [texx]p=p_1^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]q=2q_1^2[/texx] . 

Luego:

[texx]z^{2}+y=2p^{2}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]z^{2}-y=2q^{2}[/texx]

Si multiplico ambas expresiones por el factor  " [texx]2i^2[/texx] " ,  tendré:

[texx]2i^2(z^{2}+y)=4p^{2}i^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]2i^2(z^{2}-y)=4q^{2}i^2[/texx]

Nos fijamos en que  " [texx]4p^{2}i^2[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]4q^{2}i^2[/texx] "  son cuartas potencias: 

[texx]4p^{2}i^2=i^6(1+i)^4\cdot p_1^4\cdot i^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]4p^{2}i^2=i^8(1+i)^4\cdot p_1^4[/texx]   

[texx]4q^{2}i^2=4\cdot 4q_1^4\cdot i^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]4q^{2}i^2=-\,2^4\cdot q_1^4[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]-\,4q^{2}i^2=2^4\cdot q_1^4[/texx]   
   
Por lo que:  [texx](2z^{2}i^2+2yi^2)\,+\,(2z^{2}i^2-2yi^2)\,=\,4z^2i^2\,=\,i^6(1+i)^4\cdot z^2\cdot i^2\,=\,i^8(1+i)^4\cdot z^2[/texx]

Y si llamo:  [texx]a=i^2(1+i)\cdot p_1[/texx]   ,   [texx]b=2\cdot q_1[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]c=i^4(1+i)^2\cdot z[/texx]           

Entonces:  [texx]a^4-b^4=c^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\pmb{a^4=b^4+c^2}[/texx] .  Y puedo repetir el mismo procedimiento sin fin.


Un saludo,


PD. De todas las demostraciones, ésta (12va.) es mi preferida y a la que tengo más cariño; incluso de la que le sigue.


Añadido (7 octubre):  Como me indica Luis Fuentes en otro post más adelante, me he dado cuenta que parto de  [texx]\mathbb{Z}[/texx]  y acabo en  [texx]\mathbb{Z}[ i ][/texx] . Mezclo ambas cosas. Además tampoco me cuadran del todo las deducciones que llevo a cabo en la 12va. Debería salirme ó  [texx]a,b,c[/texx]  todas en  [texx]\mathbb{Z}[/texx]  ó todas en  [texx]\mathbb{Z}[ i ][/texx] . Saludos. Disculpas.
En línea

  Cuando alcanzamos lo otro, atravesamos a Dios.  F. Moreno 
Fernando Moreno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 175



Ver Perfil
« Respuesta #1 : 22/09/2018, 02:38:01 pm »

Hola.

Supongo que  [texx]z^4=x^4+y^4[/texx]  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos 2 a 2;  [texx]x\,\vee\,y[/texx]  par.


Estrategia: Demostrar con carácter general que no es posible que se dé a la vez:

[texx]\pmb{a\cdot b=c\cdot d}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\pmb{a^2=b^2+c^2+d^2}[/texx]

Para:  [texx]\pmb{a,b}[/texx]  coprimos -y-  [texx]\pmb{c,d}[/texx]  coprimos; uno de cada pareja par.

Por el principio de factorización única sé que los mismos factores primos que están a la izquierda de la igualdad  [texx]ab=cd[/texx] ,  deben estar a la derecha; solamente que agrupados de distinta manera. De esta forma si establezco que:  [texx]c=c_1c_2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]d=d_1d_2[/texx] ,  para  [texx]c_1\,\wedge\,c_2[/texx]  coprimos y  [texx]d_1\,\wedge\,d_2[/texx]  coprimos y  " [texx]b,d[/texx] " ,  por ejemplo, pares; podré establecer también sin perder generalidad que:  [texx]a=c_1d_2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]b=c_2d_1[/texx]  - ( [texx]d_1[/texx]  par) -.  Veámoslo:






Tratamos con 4 variables tomadas de 2 en 2. Podemos suponer que 2 de ellas son iguales, pero no más de 2, pues si no  [texx]a\,\vee\,b\,\vee\,c\,\vee\,d[/texx]  serían iguales y partimos de que no lo son. No pierdo generalidad tampoco, por lo tanto, si establezco la siguiente relación de orden entre ellas como sigue:  [texx]d_1\,\leq\,c_2\,<\,d_2\,<\,c_1[/texx] .

Como:  [texx]a^2=b^2+c^2+d^2[/texx] ;  entonces:  [texx]c_1^2d_2^2=c_2^2d_1^2+c_1^2c_2^2+d_1^2d_2^2[/texx] .  Luego:

(1)  [texx]c_1^2=\dfrac{c_2^2(d_1^2+c_1^2)}{d_2^2}+d_1^2[/texx] .  Como  [texx]d_2^2[/texx]  es coprimo con [texx]c_2^2[/texx] ,  entonces debe dividir á  " [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] " .  Así:  [texx]c_1^2=k_1\,c_2^2+d_1^2[/texx] ,  para un  “ [texx]k_1[/texx] “  entero.

(2)  [texx]d_2^2=\dfrac{d_1^2(c_2^2+d_2^2)}{c_1^2}+c_2^2[/texx] .  Como  [texx]c_1^2[/texx]  es coprimo con [texx]d_1^2[/texx] ,  entonces debe dividir á  " [texx]c_2^2+d_2^2[/texx] " .  Así:  [texx]d_2^2=k_2\,d_1^2+c_2^2[/texx] ,  para un  “ [texx]k_2[/texx] “  entero.
 
Y observamos lo siguiente:

(1)  [texx]\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}\,=\,\dfrac{d_1^2}{d_2^2}+\dfrac{c_1^2}{d_2^2}[/texx] .  Si llamamos ahora:  [texx]r^2=\dfrac{d_1^2}{d_2^2}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]s^2=\dfrac{c_1^2}{d_2^2}[/texx] .  Como:  [texx]d_1\,<\,d_2[/texx] ,  entonces:  [texx]r^2\,<\,1[/texx] .  Y como:  [texx]c_1\,>\,d_2[/texx] ,  entonces:  [texx]s^2\,>\,1[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]r^2+s^2=k_1[/texx] .

(2)  [texx]\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,=\,\dfrac{c_2^2}{c_1^2}+\dfrac{d_2^2}{c_1^2}[/texx] .  Si llamamos ahora:  [texx]t^2=\dfrac{c_2^2}{c_1^2}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\dfrac{1}{s^2}=\dfrac{d_2^2}{c_1^2}[/texx] .  Como:  [texx]c_2\,<\,c_1[/texx] ,  entonces:  [texx]t^2\,<\,1[/texx] .  Y como dijimos antes que:  [texx]s_2\,>\,1[/texx] ,  entonces:  [texx]\dfrac{1}{s^2}\,<\,1[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]t^2+\dfrac{1}{s^2}=k_2[/texx] .

Y  " [texx]k_1[/texx] " ,  por lo menos, no es entero

Analicemos esto último:

Como  [texx]t^2\,\wedge\,\dfrac{1}{s^2}[/texx]  son menores que  [texx]1[/texx] ,  por fuerza  [texx]k_2\,<\,2[/texx] .  Por otra parte como si  [texx]k_2[/texx]  fuera entero sería "par":  [texx]\left({k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,\,\dfrac{(=\,par)}{(=\,impar)}}\right)[/texx]  y no puede serlo de ninguna manera; entonces concluimos que será un racional no entero de la forma:  " [texx]\dfrac{A}{B}[/texx] " .  Y que ése “ B ” debe dividir á  “ [texx]d_1^2[/texx] “  de:   [texx]d_2^2=k_2\,d_1^2+c_2^2[/texx] .

Por otra parte, como:  [texx]a^2-c^2=b^2+d^2[/texx] ;  entonces:

[texx]c_1^2d_2^2-c_1^2c_2^2=c_2^2d_1^2+d_1^2d_2^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]c_1^2(d_2^2-c_2^2)=d_1^2(c_2^2+d_2^2)[/texx] .  De donde:  [texx]\dfrac{d_2^2-c_2^2}{d_1^2}=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,=\,k_2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]k_2\,d_1^2=d_2^2-c_2^2[/texx]   (que ya conocíamos (2))   [texx]\wedge[/texx]   (ahora:)   [texx]k_2\,c_1^2=c_2^2+d_2^2[/texx] .  Pero esto no puede ser, porque si el denominador de  " [texx]k_2[/texx] "  ( B )  divide á  [texx]d_1^2[/texx] ,  no puede dividir a su coprimo:  “ [texx]c_1^2[/texx] “ .  Por lo tanto uno de los dos:  “ [texx]k_2\,d_1^2[/texx] “   [texx]\vee[/texx]   “ [texx]k_2\,c_1^2[/texx] “  no es entero.


Ahora veamos que ocurriría si el UTF 4 fuera falso y se cumpliera la igualdad de la suma de sus dos cuartas potencias:

Como:  [texx](z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2[/texx] ;  serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:

[texx]x^2=2pq[/texx]  ,  [texx]y^2=p^2-q^2[/texx]  ,  [texx]z^2=p^2+q^2[/texx] ;  para  [texx]p,q[/texx]  coprimos, uno de ellos par.

Por lo que así mismo, serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:

[texx]z=a'^2+b'^2[/texx]  ,  [texx]p=a'^2-b'^2[/texx]  ,  [texx]q=2a'b'[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]p=c'^2+d'^2[/texx]  ,  [texx]y=c'^2-d'^2[/texx]  ,  [texx]q=2c'd'[/texx] ;  para  [texx]a',b'[/texx]  coprimos  [texx]\wedge[/texx]  [texx]c',d'[/texx]  coprimos, uno de cada pareja par.         

Y :  [texx]\pmb{a'b'=c'd'}[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]\pmb{a'^2-b'^2=c'^2+d'^2}[/texx] .  Ahí lo tenemos.



Y a partir de aquí una Generalización:


Dados 4 enteros positivos:  [texx]\pmb{A,B,C,D}[/texx] ;  coprimos 2 a 2. No es posible que se dé al mismo tiempo:

[texx]\pmb{C\,k_1=A+B}[/texx]

[texx]\pmb{D\,k_2=A-B}[/texx]

[texx]\pmb{A\,k_3=C+D}[/texx]

[texx]\pmb{B\,k_4=C-D}[/texx] 

Para:  [texx]\pmb{k_1,k_2,k_3,k_4}[/texx]  enteros.


A este tipo de situaciones aritméticas -por razones obvias- las llamo "supersimétricas". Y por lo menos ésta, no puede darse. Veámoslo a partir del desarrollo de la demostración anterior (que pasaría a ser un caso particular de esto último):


- A parir de  [texx]a^2=b^2+c^2+d^2[/texx] ,  teníamos:  [texx]\color{brown}k_1=\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\color{brown}k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}[/texx] .

- A partir de:  [texx]a^2-d^2=b^2+c^2[/texx] .  Si desarrollamos:  [texx]c_1^2d_2^2-d_1^2d_2^2=c_2^2d_1^2+c_1^2c_2^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]d_2^2(c_1^2-d_1^2)=c_2^2(d_1^2+c_1^2)[/texx] .  Tendremos:  [texx]\color{brown}k_3=\displaystyle\frac{c_1^2-d_1^2}{c_2^2}[/texx] .

- Y a partir de:  [texx]a^2-c^2=b^2+d^2[/texx] .  Si desarrollamos:  [texx]c_1^2d_2^2-c_1^2c_2^2=c_2^2d_1^2+d_1^2d_2^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]c_1^2(d_2^2-c_2^2)=d_1^2(c_2^2+d_2^2)[/texx] .  Tendremos:  [texx]\color{brown}k_4=\displaystyle\frac{d_2^2-c_2^2}{d_1^2}[/texx] .

Ahora hago los siguientes nombramientos sin tener en cuenta la condición de "cuadrados" de las variables:

[texx]c_1^2=\pmb{a}[/texx]  ,  [texx]d_1^2=\pmb{b}[/texx]  (par)  ,  [texx]c_2^2=\pmb{c}[/texx]  ,  [texx]d_2^2=\pmb{d}[/texx]

Tendremos que:

Dados  [texx]a,b,c,d[/texx]  enteros distintos, coprimos 2 á 2, uno de ellos par y  [texx]k_1,k_2,k_3,k_4[/texx]  enteros; entonces:

[texx]a+b=k_1d[/texx]

[texx]a-b=k_3c[/texx]

[texx]c+d=k_2a[/texx]

[texx]c-d=k_4b[/texx]

Y esta situación "supersimétrica" no puede darse con carácter general.

Como son enteros distintos tendrán un orden. Al ser 4, sus permutaciones entre sí darán lugar a 24 combinaciones diferentes:

(1)  [texx]a\,>\,b\,>\,c\,>\,d[/texx]

(2)  [texx]b\,>\,a\,>\,c\,>\,d[/texx]

(3)  [texx]c\,>\,b\,>\,a\,>\,d[/texx]

(4)  [texx]d\,>\,c\,>\,b\,>\,a[/texx]

. . . . . . . Etc.

Y si no me he equivocado en todos los casos hay un  " [texx]k_i[/texx] "  que resulta ser un racional no entero. Los casos más características son éstos:

Tipo (1):  Como  " [texx]a[/texx] "  es mayor que  [texx]c\,\wedge\,d[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]c+d=k_2a[/texx] ;  entonces:  [texx]k_2=\dfrac{c}{a}+\dfrac{d}{a}[/texx] .  Y  " [texx]k_2[/texx] "  debe ser en consecuencia menor que 2. Pero como si fuera entero debería ser "par" por ser  " [texx]c+d[/texx] " par. Entonces no queda otra que no sea entero.

Tipo (2):  Como  " [texx]b[/texx] "  es mayor que  [texx]c\,\wedge\,d[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]c-d=k_4b[/texx] ;  entonces:  [texx]k_4=\dfrac{c}{b}-\dfrac{d}{b}[/texx] .  Y  " [texx]k_4[/texx] "  debe ser en consecuencia menor que 1. 

Tipo (3):  Como  " [texx]c[/texx] "  es mayor que  [texx]a\,\wedge\,b[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]a-b=k_3c[/texx] ;  entonces:  [texx]k_3=\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}[/texx] .  Y  " [texx]k_3[/texx] "  debe ser en consecuencia menor que 1 (negativo).

Tipo (4):  Como  " [texx]d[/texx] "  es mayor que  [texx]a\,\wedge\,b[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]a+b=k_1d[/texx]   ;  entonces:  [texx]k_1=\dfrac{a}{d}+\dfrac{b}{d}[/texx] .  Y  " [texx]k_1[/texx] "  debe ser igual á 1 si es entero porque debe ser menor que 2 y puede serlo. Pero entonces, como también:  [texx]c-d=k_4b[/texx]   [texx]\Rightarrow{}[/texx]   [texx]d=c-k_4b[/texx]  -y-  " [texx]k_4[/texx] "  es negativo porque  [texx]c\,<\,d[/texx] ;  entonces si  [texx]k_4[/texx]  es mayor que 1, tendríamos que  [texx]d=a+b=c+k_4'b[/texx] .  Lo que no puede ocurrir por ser  [texx]c[/texx]  mayor que  " [texx]a[/texx] " .  Luego por fuerza  " [texx]k_4[/texx] "  debe ser menor que 1.

El caso más complejo que me he encontrado (a mi entender) es éste:  " [texx]\pmb{d\,>\,a\,>\,c\,>\,b}[/texx] "   ó   " [texx]\pmb{d\,>\,a\,>\,b\,>\,c}[/texx] "

Al ser del tipo (4) siempre tendremos que:  [texx]d=a+b[/texx] .  Por otra parte tenemos que:  [texx]a-b=k_3c[/texx] .  Luego:  [texx](a+b)+(a-b)=d+k_3c[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]2a=d+k_3c[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]k_3=\dfrac{2a-d}{c}[/texx] .  Pero si  “ [texx]k_3[/texx] “  fuera entero sería ahora impar  [texx]\left({\dfrac{impar}{impar}}\right)[/texx] ,  cuando antes era “par”:  [texx]k_3=\dfrac{a-b}{c}[/texx] .  Luego debe ser también un racional no entero.



Un saludo.

Editado (7 octubre) En base a las indicaciones de Luis Fuentes en post posterior.

Añadido: Esta demostración no es correcta. Ver respuestas que siguen.
En línea

  Cuando alcanzamos lo otro, atravesamos a Dios.  F. Moreno 
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 44.578


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 03/10/2018, 07:32:09 am »

Hola

Fernando... contigo no se puede ir uno de vacaciones tranquilo, eh.

[ 11va. ]


Supongo que  [texx]\pmb{z^4=x^2+y^4}[/texx] ,  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos dos a dos;  " [texx]y[/texx] " ,  por ejemplo, par.

Estrategia: Me doy cuenta que en  [texx]\mathbb{Z}[ i ][/texx]  " [texx]2[/texx] "  es el asociado de un cuadrado:  " [texx]i^3(1+i)^2[/texx] " .

De esta manera: [texx] z^4=(x+y^{2}i)(x-y^{2}i)[/texx] .  Como ambos factores son coprimos entonces serán cuartas potencias y existirán unos:

[texx](u+vi)^4=(x+y^{2}i)[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx](u-vi)^4=(x-y^{2}i)[/texx] ,  para  [texx]u,v[/texx]  enteros, coprimos, uno de ellos par.

Si desarrollamos:  [texx](u+vi)^4\,=\,u^4+4u^3vi+6u^uv^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4\,=\,(x+y^{2}i)[/texx] ;  entonces:

[texx]x=u^4+v^4-6u^2v^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]y^2i\,=\,4u^3vi+4uv^3i^3\,=\,4uv(u^2-v^2)i[/texx]

Por lo que:

[texx](u+vi)^4-(u-vi)^4\,=\,8uv(u^2-v^2)i\,=\,2y^2i\,=\,i^3(1+i)^2y^2i\,=\,i^4(1+i)^2y^2\,=\,(1+i)^2y^2[/texx]

Si llamo ahora:  [texx]a=u+vi[/texx]   ,   [texx]b=(1+i)y[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]c=u-vi[/texx]

Entonces:  [texx]a^4-c^4=b^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\pmb{a^4=b^2+c^4}[/texx] .  Y puedo repetir este procedimiento sin fin. Pudiendo afirmar además que a partir de un momento dado las  [texx]u',v'[/texx]  correspondientes no serán enteras.

A vuelapluma: no me convence. Comienzas con [texx]x,y,z[/texx] enteros puros y usas ese hecho de manera decisiva porque en un momento separas parte real e imaginaria. Sin embargo la nueva terna que obtienes, a priori, es de enteros de Gauss, posiblemente con parte compleja.

Saludos.
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 44.578


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 03/10/2018, 08:49:51 am »

Hola

Hola.

Por fin logro esta ansiada demostración (eso creo) sin tener que recurrir al argumento del descenso infinito. Existe. Y una manera puede ser ésta :

Tampoco me convence.  :guiño:

La crítica a vuelapluma es que que tienes que ser más cuidadoso con los "sin pérdida de generalidad".

Concreto un poco más.

Cita
Por el principio de factorización única sé que los mismos factores primos que están a la izquierda de la igualdad  [texx]ab=cd[/texx] ,  deben estar a la derecha, solamente que agrupados de distinta manera. De esta forma si establezco que:  [texx]c=c_1c_2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]d=d_1d_2[/texx] ,  para  [texx]c_1\,\wedge\,c_2[/texx]  coprimos y  [texx]d_1\,\wedge\,d_2[/texx]  coprimos (uno de ellos par: por ejemplo:  [texx]d_1[/texx] ) ;  puedo establecer también sin perder generalidad que:  [texx]a=c_1d_2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]b=c_2d_1[/texx] .  Veámoslo:

Aquí escoges al gusto quien va a ser el par.


Cita
Tratamos con 4 variables tomadas de 2 en 2. Podemos suponer que 2 de ellas son iguales, pero no más de 2, pues si no  [texx]a\,\vee\,b\,\vee\,c\,\vee\,d[/texx]  serían iguales y partimos de que no lo son. No pierdo generalidad tampoco, por lo tanto, si establezco la siguiente relación de orden entre ellas como sigue:  [texx]d_1\,\leq\,c_2\,<\,d_2\,<\,c_1[/texx] .

Aquí supones que el mayor es [texx]c_1[/texx], que antes has supuesto que es impar. ¿Por qué no podría ser par el mayor?.

Esto es importante más adelante.

Cita
Como:  [texx]a^2=b^2+c^2+d^2[/texx] ;  entonces:  [texx]c_1^2d_2^2=c_2^2d_1^2+c_1^2c_2^2+d_1^2d_2^2[/texx] .  Luego:

(1)  [texx]c_1^2=\dfrac{c_2^2(d_1^2+c_1^2)}{d_2^2}+d_1^2[/texx] .  Como  [texx]d_2^2[/texx]  es coprimo con [texx]c_2^2[/texx] ,  entonces debe dividir á  " [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] " .  Así:  [texx]c_1^2=k_1\,c_2^2+d_1^2[/texx] ,  para un  “ [texx]k_1[/texx] “  entero ó racional.

(2)  [texx]d_2^2=\dfrac{d_1^2(c_2^2+d_2^2)}{c_1^2}+c_2^2[/texx] .  Como  [texx]c_1^2[/texx]  es coprimo con [texx]d_1^2[/texx] ,  entonces debe dividir á  " [texx]c_2^2+d_2^2[/texx] " .  Así:  [texx]d_2^2=k_2\,d_1^2+c_2^2[/texx] ,  para un  “ [texx]k_2[/texx] “  entero ó racional.

No entiendo porque dejas abierta la posibilidad de que [texx]k_1[/texx] o [texx]k_2[/texx] sea racional. Precisamente por el argumetno de coprimalidad que exhibes, ese cociente debe de ser entero.
 
Cita
Y observamos lo siguiente:

(1)  [texx]\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}\,=\,\dfrac{d_1^2}{d_2^2}+\dfrac{c_1^2}{d_2^2}[/texx] .  Si llamamos ahora:  [texx]r^2=\dfrac{d_1^2}{d_2^2}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]s^2=\dfrac{c_1^2}{d_2^2}[/texx] .  Como:  [texx]d_1\,<\,d_2[/texx] ,  entonces:  [texx]r^2\,<\,0[/texx] .  Y como:  [texx]c_1\,>\,d_2[/texx] ,  entonces:  [texx]s^2\,>\,0[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]r^2+s^2=k_1[/texx] .

(2)  [texx]\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,=\,\dfrac{c_2^2}{c_1^2}+\dfrac{d_2^2}{c_1^2}[/texx] .  Si llamamos ahora:  [texx]t^2=\dfrac{c_2^2}{c_1^2}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\dfrac{1}{s^2}=\dfrac{d_2^2}{c_1^2}[/texx] .  Como:  [texx]c_2\,<\,c_1[/texx] ,  entonces:  [texx]t^2\,<\,0[/texx] .  Y como dijimos antes que:  [texx]s_2\,>\,0[/texx] ,  entonces:  [texx]\dfrac{1}{s^2}\,<\,0[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]t^2+\dfrac{1}{s^2}=k_2[/texx] .

Ahí tienes varias erratas; donde quieres decir mayor y menor que uno pones mayor y menor que cero.

Cita
Analicemos esto último:

Como  [texx]t^2\,\wedge\,\dfrac{1}{s^2}[/texx]  son menores que  [texx]0[/texx] ,  por fuerza  [texx]k_2\,<\,2[/texx] .  Por otra parte como si  [texx]k_2[/texx]  fuera entero sería "par":  [texx]\left({k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,\,\dfrac{(=\,par)}{(=\,impar)}}\right)[/texx]  y no puede serlo de ninguna manera; entonces concluimos que será un racional no entero de la forma:  " [texx]\dfrac{A}{B}[/texx] " .  Y que ése “ B ” debe dividir á  “ [texx]d_1^2[/texx] “  de:   [texx]d_2^2=k_2\,d_1^2+c_2^2[/texx] .

Si estuviese bien ya tenias la contradicción porque como te digo [texx]k_2[/texx] tiene que ser entero. Pero el problema es que ahí usas de forma decisiva la elección de paridad que has hecho que no tiene porque ser compatible con la elección de orden que has hecho.

Saludos.
En línea
Fernando Moreno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 175



Ver Perfil
« Respuesta #4 : 03/10/2018, 01:53:51 pm »

Hola,

Fernando... contigo no se puede ir uno de vacaciones tranquilo, eh.


No


A vuelapluma: no me convence. Comienzas con [texx]x,y,z[/texx] enteros puros y usas ese hecho de manera decisiva porque en un momento separas parte real e imaginaria. Sin embargo la nueva terna que obtienes, a priori, es de enteros de Gauss, posiblemente con parte compleja.

La idea es: Efectivamente, termino con ternas de enteros de Gauss pero que tienen una parte entera pura también:  [texx]u,v[/texx] .  Puesto que puedo repetir el procedimiento sin fin, como he demostrado, las próximas  [texx]u',v'[/texx]  serán más pequeñas y así sucesivamente hasta que por fuerza sean menores que 1 y dejen de ser enteras.

Añadido: Ahora con más calma: Es cierto lo que dices. Tengo que revisarlo también. Todo esto me ha cogido por sorpresa

Añadido (4 octubre):

AQUÍ PROPONGO UNA ALTERNATIVA PARA FINALIZAR LA DEMOSTRACIÓN:  http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=105944.msg419026#msg419026

Y por analogía, cambio también el final de esta demostración relacionada pero del caso n = 3 Aquí:  http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=105947.msg419041#msg419041



Por fin logro esta ansiada demostración (eso creo) sin tener que recurrir al argumento del descenso infinito. Existe. Y una manera puede ser ésta :

Tampoco me convence.  :guiño:

Me has cogido con el paso cambiado. Había dado por terminado estos temas y pasado de la aritmética al álgebra (estaba estudiando sobre cuestiones de álgebra abstracta). Me tomo un breve respiro, cambio el chip y veo si puedo subsanar los puntos débiles a los que haces referencia en esta demostración. ¡Qué lastima volver para atrás!, lo había dado como cerrado.


Un saludo,
En línea

  Cuando alcanzamos lo otro, atravesamos a Dios.  F. Moreno 
Fernando Moreno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 175



Ver Perfil
« Respuesta #5 : 07/10/2018, 01:32:56 pm »

Hola,


Cita
Por el principio de factorización única sé que los mismos factores primos que están a la izquierda de la igualdad  [texx]ab=cd[/texx] ,  deben estar a la derecha, solamente que agrupados de distinta manera. De esta forma si establezco que:  [texx]c=c_1c_2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]d=d_1d_2[/texx] ,  para  [texx]c_1\,\wedge\,c_2[/texx]  coprimos y  [texx]d_1\,\wedge\,d_2[/texx]  coprimos (uno de ellos par: por ejemplo:  [texx]d_1[/texx] ) ;  puedo establecer también sin perder generalidad que:  [texx]a=c_1d_2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]b=c_2d_1[/texx] .  Veámoslo:

Aquí escoges al gusto quien va a ser el par

Está incorrectamente expresado por mi parte.  " [texx]d_1[/texx] "  debe ser el término par sí ó sí porque es el único factor común entre  [texx]b[/texx]  y  [texx]d[/texx] ;  los 2 únicos elementos pares de la terna  [texx]a,b,c,d[/texx] .  Si te refieres a porqué escojo pares á  " [texx]b\,\wedge\,d[/texx] "  de esa terna, es porque da igual que hubiera escogido á  " [texx]a\,\wedge\,c[/texx] "  pares. La relación:  [texx]a\cdot b=c\cdot d[/texx]  de la que estoy partiendo es completamente simétrica respecto de quienes son pares; salvo que lo sea uno de cada pareja.

Aquí supones que el mayor es [texx]c_1[/texx], que antes has supuesto que es impar. ¿Por qué no podría ser par el mayor?.

Escojo  [texx]c_1[/texx]  el factor más grande porque pertenece a  " [texx]c[/texx] "  el término mayor. Igual podría haber escogido á  " [texx]c_2[/texx] " y sería todo igual. Pero es "menos lógico" puesto que el factor  [texx]c_2[/texx]  es compartido con  " [texx]b[/texx] " ,  que es el elemento más pequeño de la terna  [texx]a,b,c,d[/texx] .

Cita
Como:  [texx]a^2=b^2+c^2+d^2[/texx] ;  entonces:  [texx]c_1^2d_2^2=c_2^2d_1^2+c_1^2c_2^2+d_1^2d_2^2[/texx] .  Luego:

(1)  [texx]c_1^2=\dfrac{c_2^2(d_1^2+c_1^2)}{d_2^2}+d_1^2[/texx] .  Como  [texx]d_2^2[/texx]  es coprimo con [texx]c_2^2[/texx] ,  entonces debe dividir á  " [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] " .  Así:  [texx]c_1^2=k_1\,c_2^2+d_1^2[/texx] ,  para un  “ [texx]k_1[/texx] “  entero ó racional.

(2)  [texx]d_2^2=\dfrac{d_1^2(c_2^2+d_2^2)}{c_1^2}+c_2^2[/texx] .  Como  [texx]c_1^2[/texx]  es coprimo con [texx]d_1^2[/texx] ,  entonces debe dividir á  " [texx]c_2^2+d_2^2[/texx] " .  Así:  [texx]d_2^2=k_2\,d_1^2+c_2^2[/texx] ,  para un  “ [texx]k_2[/texx] “  entero ó racional.

No entiendo porque dejas abierta la posibilidad de que [texx]k_1[/texx] o [texx]k_2[/texx] sea racional. Precisamente por el argumetno de coprimalidad que exhibes, ese cociente debe de ser entero.

Ok.


Cita
Y observamos lo siguiente:

(1)  [texx]\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}\,=\,\dfrac{d_1^2}{d_2^2}+\dfrac{c_1^2}{d_2^2}[/texx] .  Si llamamos ahora:  [texx]r^2=\dfrac{d_1^2}{d_2^2}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]s^2=\dfrac{c_1^2}{d_2^2}[/texx] .  Como:  [texx]d_1\,<\,d_2[/texx] ,  entonces:  [texx]r^2\,<\,0[/texx] .  Y como:  [texx]c_1\,>\,d_2[/texx] ,  entonces:  [texx]s^2\,>\,0[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]r^2+s^2=k_1[/texx] .

(2)  [texx]\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,=\,\dfrac{c_2^2}{c_1^2}+\dfrac{d_2^2}{c_1^2}[/texx] .  Si llamamos ahora:  [texx]t^2=\dfrac{c_2^2}{c_1^2}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\dfrac{1}{s^2}=\dfrac{d_2^2}{c_1^2}[/texx] .  Como:  [texx]c_2\,<\,c_1[/texx] ,  entonces:  [texx]t^2\,<\,0[/texx] .  Y como dijimos antes que:  [texx]s_2\,>\,0[/texx] ,  entonces:  [texx]\dfrac{1}{s^2}\,<\,0[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]t^2+\dfrac{1}{s^2}=k_2[/texx] .

Ahí tienes varias erratas; donde quieres decir mayor y menor que uno pones mayor y menor que cero.

Ok, lo corrijo.


Un saludo,
En línea

  Cuando alcanzamos lo otro, atravesamos a Dios.  F. Moreno 
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 44.578


Ver Perfil
« Respuesta #6 : 07/10/2018, 04:03:45 pm »

Hola

Está incorrectamente expresado por mi parte.  " [texx]d_1[/texx] "  debe ser el término par sí ó sí porque es el único factor común entre  [texx]b[/texx]  y  [texx]d[/texx] ;  los 2 únicos elementos pares de la terna  [texx]a,b,c,d[/texx] .  Si te refieres a porqué escojo pares á  " [texx]b\,\wedge\,d[/texx] "  de esa terna, es porque da igual que hubiera escogido á  " [texx]a\,\wedge\,c[/texx] "  pares. La relación:  [texx]a\cdot b=c\cdot d[/texx]  de la que estoy partiendo es completamente simétrica respecto de quienes son pares; salvo que lo sea uno de cada pareja.

Pero estamos en las mismas y, ¿por qué han de ser [texx]b[/texx] y [texx]d[/texx] los pares y no [texx]a[/texx] y [texx]c.[/texx]?

Por resumir si decides que el orden es:

[texx]d_1\,\leq\,c_2\,<\,d_2\,<\,c_1[/texx]

La clave es que justifiques porque necesariamente:

[texx]k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}[/texx]

es par. Eso supone que el numerador sea par y el denominador impar. Eso supone que el par necesariamente sea [texx]d_1[/texx]. ¿Por qué no puede ser [texx]c_1[/texx]?.

Saludos.
En línea
Fernando Moreno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 175



Ver Perfil
« Respuesta #7 : 11/10/2018, 05:57:55 pm »

Hola, esta es una posible solución:


Parto de  [texx]ab=cd[/texx] ,  uno de cada pareja par. Luego las posibilidades son:

1)  [texx]a,c[/texx]  pares   [texx]\Rightarrow{}[/texx]   factor  " [texx]c_1[/texx] "  par.

2)  [texx]a,d[/texx]  pares   [texx]\Rightarrow{}[/texx]   factor  " [texx]d_2[/texx] "  par.

3)  [texx]b,c[/texx]  pares   [texx]\Rightarrow{}[/texx]   factor  " [texx]c_2[/texx] "  par.

4)  [texx]b,d[/texx]  pares   [texx]\Rightarrow{}[/texx]   factor  " [texx]d_1[/texx] "  par.

En el cuadro que pongo abajo, en cada caso me encuentro con 4 ecuaciones del tipo:  [texx]k_n=\dfrac{A^2\pm{}B^2}{C^2}[/texx]  y se pueden dar estas 3 situaciones:

a)  Cuando  [texx]C[/texx]  es par y  " [texx]A^2\pmb{+}B^2[/texx] " : Entonces  [texx]C[/texx]  es par de magnitud 4; pero como entonces a su vez  [texx]A\,\wedge\,B[/texx]  son impares cuadrados que se suman ([texx]2p-1,2q-1\,\Rightarrow\,{4p^2-4p+4q^2-4q+2}[/texx]); su paridad será de magnitud 2. Esto hace que la razón sea del tipo  [texx]\dfrac{impar}{par}[/texx]  y por tanto  [texx]k_n[/texx]  racional. Esto soluciona los casos 1) y 2) y responde a lo que me planteaba Luis Fuentes en el post anterior.

b)  El caso 4) :  Es el que está resuelto en la demostración primera. Como  " [texx]d_1[/texx] "  es el factor par, esto hace que  " [texx]k_2[/texx] "  sea par y como mínimo  " [texx]2[/texx] " ;  cuando debe ser menor que 2.

c)  El caso 3) :  Este ha sido el más complicado y una posible solución es como sigue:

    c.1)  Tenemos ahora que:  [texx]k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,\,\dfrac{(=\,impar)}{(=\,impar)}[/texx] .  Como:  [texx]k_2=t^2+\dfrac{1}{s^2}[/texx]   -y-   " [texx]t^2[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]\dfrac{1}{s^2}[/texx] "  dijimos que eran menores que 1. Para que  " [texx]k_2[/texx] "  sea entero debe ser 1.

    c.2)  Conocemos también por la primera demostración que:  [texx]d_2^2=k_2\,d_1^2+c_2^2[/texx] .  Luego ahora:  [texx]d_2^2=d_1^2+c_2^2[/texx] .  Como por c.1) :  [texx]c_1^2=c_2^2+d_2^2[/texx] .  Si despejo  [texx]d_2^2[/texx]  y lo sustituyo en la primera ecuación tendré que:  [texx]c_1^2=d_1^2+2c_2^2[/texx] .  Pero como también tenía que:  [texx]c_1^2=k_1\,c_2^2+d_1^2[/texx] .  Significa entonces que:  [texx]k_1=2[/texx] .

    c.3)  Por c.2) sabemos que  [texx]c_1^2=d_1^2+2c_2^2[/texx] .  Como conocemos que  [texx]k_2=1[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]c_1^2=c_2^2+d_2^2[/texx] .  Si sustituimos este  " [texx]c_1[/texx] " en la primera fórmula, tendremos que:  [texx]c_2^2+d_1^2=d_2^2[/texx] .  Luego:  [texx]d_1^2=d_2^2-c_2^2[/texx] .  Por lo que:  [texx]k_4=1[/texx] .

    c.4)  Es cierto entonces para este caso que:  [texx]k_2+k_4=k_1[/texx] .  Hagámoslo:  [texx]\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}+\displaystyle\frac{d_2^2-c_2^2}{d_1^2}\,=\,\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}[/texx]    [texx]\Rightarrow{}[/texx]    [texx]\dfrac{c_2^2d_1^2+d_2^2d_1^2+d_2^2c_1^2-c_2^2c_1^2}{c_1^2d_1^2}\,=\,\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}[/texx]    [texx]\Rightarrow{}[/texx]    [texx]d_2^2\,(c_2^2d_1^2+d_2^2d_1^2+d_2^2c_1^2-c_2^2c_1^2)\,=\,c_1^2d_1^2\,(d_1^2+c_1^2)[/texx] .  Y reagrupando términos en la parte izquierda:  [texx]d_2^2\,(c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2))\,=\,c_1^2d_1^2\,(d_1^2+c_1^2)[/texx] .  Analicemos esto último; el factor:  " [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] "  de la parte derecha de la ecuación debe dividir a la parte izquierda. Veamos cómo esto no es posible. La parte izquierda de la ecuación consta de 2 factores:  " [texx]d_2^2[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2)[/texx] " .  " [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] "  no divide á  " [texx]d_2^2[/texx] " ,  pues da exactamente:  [texx]\dfrac{1}{2}[/texx] .  Y no divide tampoco á  " [texx]c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2)[/texx] " ,  pues divide á  [texx]d_2^2(d_1^2+c_1^2)[/texx]  y no divide ni á  [texx]d_1^2-c_1^2[/texx]  (con el que es coprimo), ni á  [texx]c_2^2[/texx] ,  que es un factor más pequeño. Luego no puede darse  " [texx]k_2+k_4=k_1[/texx] "  para  [texx]k_1,k_2,k_4[/texx]  enteros.         



[texx]\begin{matrix}
\color{brown}\pmb{(\,k_n\,)}  & &  \color{blue}1)  &  &  \color{blue}2)  &  &  &  \color{blue}3)  &  \color{blue}4)\\
 &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
\hline
\color{brown}k_1=\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}  & &  &  &  \color{red}\dfrac{impar}{par}  &  &  &  \color{red}c.4) \\
\hline
  \color{brown}k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}  & &  \color{red}\dfrac{impar}{par}  &  &  &  &  &  \color{red}c.4)  &  \color{red}Menor\,que\,2 \\
\hline
\color{brown}k_3=\displaystyle\frac{c_1^2-d_1^2}{c_2^2}  & &  &  &  &  &  &  &\\
\hline
 \color{brown}k_4=\displaystyle\frac{d_2^2-c_2^2}{d_1^2} & &  &  &  &  &  &  \color{red}c.4)  & \\
\hline
\end{matrix}[/texx]




Un saludo,


PD. No sé cómo se hacen las líneas verticales. ¿Alguien sabe?
En línea

  Cuando alcanzamos lo otro, atravesamos a Dios.  F. Moreno 
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 44.578


Ver Perfil
« Respuesta #8 : 16/10/2018, 02:49:35 pm »

Hola

 Este razonamiento está mal.

    c.4)  Es cierto entonces para este caso que:  [texx]k_2+k_4=k_1[/texx] .  Hagámoslo:  [texx]\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}+\displaystyle\frac{d_2^2-c_2^2}{d_1^2}\,=\,\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}[/texx]    [texx]\Rightarrow{}[/texx]    [texx]\dfrac{c_2^2d_1^2+d_2^2d_1^2+d_2^2c_1^2-c_2^2c_1^2}{c_1^2d_1^2}\,=\,\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}[/texx]    [texx]\Rightarrow{}[/texx]    [texx]d_2^2\,(c_2^2d_1^2+d_2^2d_1^2+d_2^2c_1^2-c_2^2c_1^2)\,=\,c_1^2d_1^2\,(d_1^2+c_1^2)[/texx] .  Y reagrupando términos en la parte izquierda:  [texx]d_2^2\,(c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2))\,=\,c_1^2d_1^2\,(d_1^2+c_1^2)[/texx] .  Analicemos esto último; el factor:  " [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] "  de la parte derecha de la ecuación debe dividir a la parte izquierda. Veamos cómo esto no es posible. La parte izquierda de la ecuación consta de 2 factores:  " [texx]d_2^2[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2)[/texx] " .  " [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] "  no divide á  " [texx]d_2^2[/texx] " ,  pues da exactamente:  [texx]\dfrac{1}{2}[/texx] .  Y no divide tampoco á  " [texx]c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2)[/texx] " ,  pues divide á  [texx]d_2^2(d_1^2+c_1^2)[/texx]  y no divide ni á  [texx]d_1^2-c_1^2[/texx]  (con el que es coprimo), ni á  [texx]c_2^2[/texx] ,  que es un factor más pequeño. Luego no puede darse  " [texx]k_2+k_4=k_1[/texx] "  para  [texx]k_1,k_2,k_4[/texx]  enteros.         

La frase en rojo indica que si bien [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] no divide a [texx]d_2^2[/texx] , precisamente por ser el cociente [texx]1/2[/texx] tienen muchos factores comunes. De manera que puedes simplificar la ecuación eliminado [texx]d_2^2[/texx] a la izquierda y sustituyendo  [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] por [texx]2[/texx] a la derecha:

[texx](c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2))\,=2\,c_1^2d_1^2[/texx]

y ... adiós al resto del argumento.

Saludos.
En línea
Fernando Moreno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 175



Ver Perfil
« Respuesta #9 : 16/10/2018, 03:32:32 pm »

Hola, gracias por contestar.


Este razonamiento está mal.

    c.4)  Es cierto entonces para este caso que:  [texx]k_2+k_4=k_1[/texx] .  Hagámoslo:  [texx]\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}+\displaystyle\frac{d_2^2-c_2^2}{d_1^2}\,=\,\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}[/texx]    [texx]\Rightarrow{}[/texx]    [texx]\dfrac{c_2^2d_1^2+d_2^2d_1^2+d_2^2c_1^2-c_2^2c_1^2}{c_1^2d_1^2}\,=\,\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}[/texx]    [texx]\Rightarrow{}[/texx]    [texx]d_2^2\,(c_2^2d_1^2+d_2^2d_1^2+d_2^2c_1^2-c_2^2c_1^2)\,=\,c_1^2d_1^2\,(d_1^2+c_1^2)[/texx] .  Y reagrupando términos en la parte izquierda:  [texx]d_2^2\,(c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2))\,=\,c_1^2d_1^2\,(d_1^2+c_1^2)[/texx] .  Analicemos esto último; el factor:  " [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] "  de la parte derecha de la ecuación debe dividir a la parte izquierda. Veamos cómo esto no es posible. La parte izquierda de la ecuación consta de 2 factores:  " [texx]d_2^2[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2)[/texx] " .  " [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] "  no divide á  " [texx]d_2^2[/texx] " ,  pues da exactamente:  [texx]\dfrac{1}{2}[/texx] .  Y no divide tampoco á  " [texx]c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2)[/texx] " ,  pues divide á  [texx]d_2^2(d_1^2+c_1^2)[/texx]  y no divide ni á  [texx]d_1^2-c_1^2[/texx]  (con el que es coprimo), ni á  [texx]c_2^2[/texx] ,  que es un factor más pequeño. Luego no puede darse  " [texx]k_2+k_4=k_1[/texx] "  para  [texx]k_1,k_2,k_4[/texx]  enteros.         

La frase en rojo indica que si bien [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] no divide a [texx]d_2^2[/texx] , precisamente por ser el cociente [texx]1/2[/texx] tienen muchos factores comunes. De manera que puedes simplificar la ecuación eliminado [texx]d_2^2[/texx] a la izquierda y sustituyendo  [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] por [texx]2[/texx] a la derecha:

[texx](c_2^2(d_1^2-c_1^2)+d_2^2(d_1^2+c_1^2))\,=2\,c_1^2d_1^2[/texx]


Cierto.


y ... adiós al resto del argumento.

¡Por Dios, qué descortesía!  :triste:   Bueno ya buscaré darle otra "entrada" de nuevo
En línea

  Cuando alcanzamos lo otro, atravesamos a Dios.  F. Moreno 
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 2.254


Ver Perfil
« Respuesta #10 : 16/10/2018, 04:48:04 pm »

Hola

PD. No sé cómo se hacen las líneas verticales. ¿Alguien sabe?

Con el ambiente [texx]\textrm{matrix}[/texx] no es posible lograrlo (ver sección 4.1 de la documentación de [texx]\textrm{amsmath}[/texx]), pero sí con el ambiente [texx]\textrm{array}[/texx], a través de la especificación del comando [texx]\textrm{|}[/texx] (o incluso [texx]\textrm{:}[/texx] si se quieren líneas verticales punteadas).

Spoiler: Resultado (click para mostrar u ocultar)

Saludos
En línea
Fernando Moreno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 175



Ver Perfil
« Respuesta #11 : 16/10/2018, 05:00:35 pm »

Hola,

Guauuu ¡Muchas gracias! Muy amable. Perfectamente explicado. Ya lo sé para siempre. Además me guardo el enlace.

Saludos cordiales,
En línea

  Cuando alcanzamos lo otro, atravesamos a Dios.  F. Moreno 
Fernando Moreno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 175



Ver Perfil
« Respuesta #12 : 23/10/2018, 05:30:06 pm »

Hola, me gustaría saber si el siguiente razonamiento pudiera ser correcto:


Parto de:    [texx]\color{brown}k_1=\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}=2[/texx]   ,   [texx]\color{brown}k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}=1[/texx]   ,   [texx]\color{brown}k_3=\displaystyle\frac{c_1^2-d_1^2}{c_2^2}= 2[/texx]   ,   [texx]\color{brown}k_4=\displaystyle\frac{d_2^2-c_2^2}{d_1^2}=1[/texx] ;  para únicamente  " [texx]\color{brown}c_2^2[/texx] "  par.

Como por  [texx]k_2[/texx] :  [texx]c_1^2=c_2^2+d_2^2[/texx] ;  entonces, dado que todo impar al cuadrado es congruente con 1 módulo 8:  [texx]c_1^2\equiv{1}\,\,\,(mod\,\,8)[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]d_2^2\equiv{1}\,\,\,(mod\,\,8)[/texx]  y :  [texx]1=X+1[/texx] .  De ahí deduzco que:  [texx]X=0[/texx] ;  que:  [texx]c_2^2\equiv{0}\,\,\,(mod\,\,8)[/texx]  y que por ser  [texx]c_2^2[/texx]  un cuadrado; entonces en realidad:  [texx]c_2^2\equiv{0}\,\,\,(mod\,\,16)[/texx] .

Por  [texx]k_3[/texx] :  [texx]c_1^2-d_1^2=2\,c_2^2[/texx] .  Si divido ambos lados de la igualdad entre  [texx]32[/texx] ;  entonces:  [texx](c_1^2-d_1^2)\equiv{0}\,\,\,(mod\,\,32)\,=\,2\,c_2^2\equiv{0}\,\,\,(mod\,\,32)[/texx]  y :  [texx]Y-Y=0[/texx] .  Supongamos que  [texx]Y[/texx]  no sea  [texx]1[/texx] .  Por ejemplo, que sea  [texx]2[/texx] .  Entonces:  [texx]c_1^2\equiv{2}\,\,\,(mod\,\,32)[/texx] .  Pero entonces también sería:  [texx]c_1^2\equiv{2}\,\,\,(mod\,\,8)[/texx] .  Lo que no puede ser, pues yo sé que es:  [texx]c_1^2\equiv{1}\,\,\,(mod\,\,8)[/texx] .  Luego:  [texx]Y=1[/texx]  y :  [texx]c_1^2\equiv{1}\,\,\,(mod\,\,32)[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]d_1^2\equiv{1}\,\,\,(mod\,\,32)[/texx] .

Por  [texx]k_2[/texx]  de nuevo:  [texx]c_1^2=c_2^2+d_2^2[/texx] .  Pero ahora:   [texx]c_1^2\equiv{1}\,\,\,(mod\,\,32)[/texx] .  Luego si divido el lado derecho de la ecuación entre 32, tendré que:  [texx](c_2^2+d_2^2)\equiv{1}\,\,\,(mod\,\,32)[/texx]  y :  [texx]Z+W=1[/texx] .  Y uno de ellos debe ser  [texx]0[/texx] .  Pero no puede ser nunca la congruencia con  [texx]d_2^2[/texx]  porque es impar. Luego debe ser la congruencia con  [texx]c_2^2[/texx]  y ser en realidad:  [texx]c_2^2\equiv{0}\,\,\,(mod\,\,32)[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]d_2^2\equiv{1}\,\,\,(mod\,\,32)[/texx] .

Pero entonces puedo repetir el proceso con  [texx]k_3[/texx] .  Puesto que:  [texx]\dfrac{c_1^2-d_1^2}{c_2^2}=2[/texx] .  Y si  [texx]32\mid c_2^2[/texx] ,  que es un cuadrado; es porque:  [texx]64\mid c_2^2[/texx]  y entonces:  [texx]128\mid(c_1^2-d_1^2)[/texx] .  Lo que desembocaría en un proceso sin término absurdo por no poderse nunca concretar cuál sería la verdadera paridad de  " [texx]c_2^2[/texx] ".


Un saludo, 
En línea

  Cuando alcanzamos lo otro, atravesamos a Dios.  F. Moreno 
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 44.578


Ver Perfil
« Respuesta #13 : 24/10/2018, 06:36:55 am »

Hola

Hola, me gustaría saber si el siguiente razonamiento pudiera ser correcto:


Parto de:    [texx]\color{brown}k_1=\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}=2[/texx]   ,   [texx]\color{brown}k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}=1[/texx]   ,   [texx]\color{brown}k_3=\displaystyle\frac{c_1^2-d_1^2}{c_2^2}= 2[/texx]   ,   [texx]\color{brown}k_4=\displaystyle\frac{d_2^2-c_2^2}{d_1^2}=1[/texx] ;  para únicamente  " [texx]\color{brown}c_2^2[/texx] "  par.

Como por  [texx]k_2[/texx] :  [texx]c_1^2=c_2^2+d_2^2[/texx] ;  entonces, dado que todo impar al cuadrado es congruente con 1 módulo 8:  [texx]c_1^2\equiv{1}\,\,\,(mod\,\,8)[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]d_2^2\equiv{1}\,\,\,(mod\,\,8)[/texx]  y :  [texx]1=X+1[/texx] .  De ahí deduzco que:  [texx]X=0[/texx] ;  que:  [texx]c_2^2\equiv{0}\,\,\,(mod\,\,8)[/texx]  y que por ser  [texx]c_2^2[/texx]  un cuadrado; entonces en realidad:  [texx]c_2^2\equiv{0}\,\,\,(mod\,\,16)[/texx] .

Por  [texx]k_3[/texx] :  [texx]c_1^2-d_1^2=2\,c_2^2[/texx] .  Si divido ambos lados de la igualdad entre  [texx]32[/texx] ;  entonces:  [texx](c_1^2-d_1^2)\equiv{0}\,\,\,(mod\,\,32)\,=\,2\,c_2^2\equiv{0}\,\,\,(mod\,\,32)[/texx]  y :  [texx]Y-Y=0[/texx] .  Supongamos que  [texx]Y[/texx]  no sea  [texx]1[/texx] .  Por ejemplo, que sea  [texx]2[/texx] .  Entonces:  [texx]c_1^2\equiv{2}\,\,\,(mod\,\,32)[/texx] .  Pero entonces también sería:  [texx]c_1^2\equiv{2}\,\,\,(mod\,\,8)[/texx] .  Lo que no puede ser, pues yo sé que es:  [texx]c_1^2\equiv{1}\,\,\,(mod\,\,8)[/texx] .  Luego:  [texx]Y=1[/texx]  y :  [texx]c_1^2\equiv{1}\,\,\,(mod\,\,32)[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]d_1^2\equiv{1}\,\,\,(mod\,\,32)[/texx] .

¿Y por que no [texx]c_1^2=d_1^2=9[/texx] ó [texx]17[/texx] ó [texx]25[/texx] mod [texx]32[/texx].

Cita
Por  [texx]k_2[/texx]  de nuevo:  [texx]c_1^2=c_2^2+d_2^2[/texx] .  Pero ahora:   [texx]c_1^2\equiv{1}\,\,\,(mod\,\,32)[/texx] .  Luego si divido el lado derecho de la ecuación entre 32, tendré que:  [texx](c_2^2+d_2^2)\equiv{1}\,\,\,(mod\,\,32)[/texx]  y :  [texx]Z+W=1[/texx] .  Y uno de ellos debe ser  [texx]0[/texx] . 

¿y por qué debe de ser [texx]0[/texx] uno de ellos?. Por decir algo [texx]10+23=1[/texx] mod [texx]32[/texx].

Saludos.
En línea
Fernando Moreno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 175



Ver Perfil
« Respuesta #14 : 24/10/2018, 08:50:38 am »

Hola,

¿Y por que no [texx]c_1^2=d_1^2=9[/texx] ó [texx]17[/texx] ó [texx]25[/texx] mod [texx]32[/texx].

¿y por qué debe de ser [texx]0[/texx] uno de ellos?. Por decir algo [texx]10+23=1[/texx] mod [texx]32[/texx].

Llevas razón, podrían ser otros valores. Gracias por la aclaración.

Un saludo,
En línea

  Cuando alcanzamos lo otro, atravesamos a Dios.  F. Moreno 
Fernando Moreno
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 175



Ver Perfil
« Respuesta #15 : 24/10/2018, 03:52:50 pm »

Hola, me he dado cuenta que ando perdiendo el tiempo con este planteamiento. Me acabo de dar cuenta y quiero compartirlo por si alguien aparte de mí le está dando vueltas a esto.

Me expreso rápido y sin mucho formalismo. Resulta que da igual que  [texx]\color{brown}k_1=\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}[/texx]  sea igual á 2 ó á 83. Porque si  [texx]k_1=83[/texx] ;  entonces siempre  [texx]k_3=83[/texx] .  Lo básico aquí es que  [texx]k_1=k_3[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]k_2=k_4[/texx] .  Es decir, todo está girando a ésta cuestión que es siempre verdadera:  " [texx]\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a-b}{d}[/texx] " ;  para  [texx]a,b=1[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]c,d=1[/texx] ,  uno de ellos par. Los cuadrados dan igual porque en realidad en este planteamiento no los uso y es una de las causas por las que no encuentro la solución.

Lo podría poner en letras, pero mejor lo hago con números. La cosa es verlo. Parto por ejemplo de esto:  [texx]k_1=\dfrac{7+4}{11}=k_3=\dfrac{7-4}{3}[/texx] .  Entonces, siempre:  [texx]11-3[/texx]  será igual á  [texx]4\cdot{2}[/texx]  y  [texx]11+3[/texx]  será igual á  [texx]7\cdot{2}[/texx]  y ya tendríamos  [texx]k_2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]k_4[/texx] .

Ahora, operando:  [texx]7\cdot{3}+4\cdot{3}=7\cdot{11}-4\cdot{11}[/texx] . Y de ahí:  [texx]12\cdot{77}=21\cdot{44}[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]3\cdot{4}[/texx] [texx]x[/texx] [texx]7\cdot{11}[/texx]  [texx]=[/texx]  [texx]3\cdot{7}[/texx] [texx]x[/texx] [texx]11\cdot{4}[/texx] .  En definitiva:

La verdad de:  [texx]\pmb{a\cdot b=c\cdot d}[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]\pmb{a^2=b^2+c^2+d^2}[/texx]  etc...  depende (sí y sólo sí) de la verdad de  [texx]\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a-b}{d}[/texx]  OJO - si no uso "los cuadrados". Y como esto último es verdad, también será lo primero y no podré sacar contradicción alguna utilizando esta forma general de planteamiento.


Un saludo,
En línea

  Cuando alcanzamos lo otro, atravesamos a Dios.  F. Moreno 
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!