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Autor Tema: Prueba \(\;g(x)=\max\;f\big([a,x]\big)\;\) es continua si \(\;f\;\) continua.  (Leído 917 veces)
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Buscón
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« : 10/04/2018, 06:25:36 pm »


Sea    [texx]f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    continua. Prueba que la función    [texx]g:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    dada para todo    [texx]x\in{[a,b]}[/texx]    por

[texx]g(x)=máx \;f\big([a,x]\big)[/texx],    es continua.


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delmar
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« Respuesta #1 : 11/04/2018, 12:56:08 am »

Hola Buscón


Una forma , considerando tres puntos a , b y c:

a)

[texx]\exists{g(x)}, \ \ \forall{x}\in{[a,b]}[/texx],   por el hecho de que [texx]\exists{max \ f([a,x])} \ \forall{x}\in{[a,b]}[/texx], por ser f continua en [texx][a,x], \ \forall{x}\in{[a,b]}[/texx]

Por lo tanto g esta definida en [texx][a,b][/texx]

b)

g es creciente . Demostrando por reducción al absurdo. Supongamos que existe una función g tal que para algún [texx]x_1, x_2[/texx] se  tiene [texx]a\leq{x_1}<x_2\leq{b}[/texx] y [texx]g(x_1)>g(x_2)\Rightarrow{max \ f([a,x_1])>max \ f([a,x_2])}[/texx] esto es absurdo por que por definición [texx]max \ f([a,x_2])\geq{max \ f([a,x_1])}[/texx], la razón es que [texx][a,x_2]\supset{[a,x_1]}[/texx]

Por lo tanto g es creciente

c)

El rango de g es  [texx][g(a), g(b)][/texx], es decir es un intervalo cerrado, toma todos los valores comprendidos entre  g(a) y g(b).

Lo demostramos por reducción al absurdo. Supongamos que existe una función g que no toma un valor  A  que cumple [texx]g(a)<A<g(b)[/texx]

Por ser f continua, toma todos los valores [texx][g(a),g(b)]=[f(a), max \ f([a,b])]\Rightarrow{\exists{x}\in{[a,b]} \ / \ f(x)=A}[/texx]

Denominando [texx]F=\left\{{x \ / \ f(x)=A, \ x\in{[a,b]}}\right\}[/texx]

[texx]F\neq{\emptyset}[/texx] y F esta acotado inferiormente por a, luego [texx]\exists{inf \ F}=x_1[/texx]

Ahora demostramos que [texx]f(x_1)=A[/texx] es decir que el extremo inferior de F pertenece a F

Hay dos alternativas que refutar :

1) [texx]f(x_1)>A[/texx]

f no podría ser continua en [texx]x_1[/texx] y a la vez ser [texx]x_1=inf \ F[/texx] esto se ve claramente al considerar un [texx]0<\epsilon<f(x_1)-A[/texx], la continuidad implica que [texx]\exists{\delta>0} \  / \ \left |{f(x)-f(x_1)}\right |<\epsilon<f(x_1)-A, \ \ si \ \left |{x-x_1}\right |<\delta[/texx]

Esto haciendo algunos arreglos nos lleva a : [texx]f(x)>A, si \ 0<x-x_1<\delta[/texx]; pero por ser [texx]x_1=inf \ F[/texx], existe siempre un [texx]0<x_2-x_1<\delta[/texx] tal que [texx]f(x_2)=A[/texx] absurdo

2) [texx]f(x_1)<A[/texx]

f no puede ser continua en [texx]x_1[/texx] y a la vez [texx]x_1=inf \ F[/texx], la demostración es semejante a la 1) solamente se considera un [texx]0<\epsilon<A-f(x_1)[/texx] y se llega también a un absurdo

Por lo tanto [texx]f(x_1)=A[/texx]

Ahora hay que demostrar que [texx]g(x_1)=A[/texx]

Hay dos alternativas que refutar :

1) [texx]g(x_1)>A[/texx]

En caso ser cierto [texx]\exists{x_3} \ / \ f(x_3)=g(x_1)>A, \ x_3\in{(a,x_1)}[/texx] pero esto implica que f toma el valor de [texx]f(x_1)=A[/texx] antes de [texx]x_1[/texx] por ser f continua, en consecuencia [texx]x_1\neq{inf \ F}[/texx] absurdo.



2) [texx]g(x_1)<A[/texx]

Absurdo por definición [texx]g(x_1)\geq{A=f(x_1)}[/texx]

Luego [texx]g(x_1)=A[/texx]

Por lo tanto :

El rango de g es  [texx][g(a), g(b)][/texx], es decir es un intervalo cerrado, toma todos los valores comprendidos entre  g(a) y g(b)

Una función creciente cuyo rango es un intervalo cerrado, es continua (se puede demostrar, aunque es probable que se pueda utilizar), luego g es continua.

Esperamos tus comentarios y tu solución.

Saludos
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #2 : 11/04/2018, 06:02:23 pm »

Otro camino es ver que [texx] f [/texx] en uniformemente continua.
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Buscón
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« Respuesta #3 : 12/04/2018, 09:53:33 pm »

Hola.

Siguiendo más o menos el camino apuntado por delmar.

Como para todos    [texx]u,v\in{[a,b]}[/texx]    con    [texx]u<v[/texx]    se tiene que

[texx][a,u]\subset{[a,v]}\Longrightarrow{}máx\;f\big([a,v]\big)=max\;\Big\{máx\;f\big([a,u]\big),máx\;f\big([a,v]\big)\Big\}[/texx],

la función    [texx]g[/texx]    no puede decrecer.


Por el teorema de Weierstrass la función    [texx]f[/texx]    tiene máximo en    [texx][a,b][/texx].    Sea    [texx]M[/texx]    ese máximo, entonces,

[texx]g(b)=máx\Big\{f\big([a,b]\big)\Big\}=M[/texx],    en consecuencia,    [texx]\forall\;{x\in{[a,b]}},\;\;\;g(x)\leq{M}[/texx]    y    [texx]g[/texx]    está acotada superiormente,

además, por ser    [texx]g(a)=máx\;f(a)=f(a)[/texx]    y    [texx]g[/texx]   creciente, podemos obtener,

[texx]f(a)\leq{g(x)}\leq{M}[/texx],    y por lo tanto    [texx]g(x)\in{\big[f(a),M\big]}[/texx]    para    [texx]x\in{[a,b]}[/texx].


Sólo falta probar que    [texx]g[/texx]     toma todos los valores del intervalo    [texx]\big[f(a),M\big][/texx]    para probar que es continua en virtud del

Teorema

Toda función monótona definida en un intervalo es continua si, y sólo si, su imagen es un intervalo,


Hasta aquí creo que correcto. Falta lo más complicado.
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« Respuesta #4 : 13/04/2018, 09:57:53 am »

Otra forma diferente es demostrar primero que una función creciente sin discontinuidades de salto es necesariamente continua (previamente conviene demostrar, desde la definición de función creciente y el teorema de convergencia monótona, que una función creciente sólo puede tener discontinuidades de salto), y luego que [texx]g[/texx] reúne estas características (es decir, que es creciente y que no posee discontinuidades de salto).

Esto último se puede demostrar por contradicción, es decir, suponer que [texx]g[/texx] tiene una discontinuidad de salto y entonces mostrar que eso implica que [texx]f[/texx] es discontinua. Esto último, asumiendo que [texx]g[/texx] tiene una discontinuidad de salto en [texx]x_0[/texx] al acercarnos desde la izquierda, se puede re-escribir (usando la definición de supremo y de [texx]g[/texx], y el hecho de que [texx]g[/texx] es creciente) como

[texx]\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}g(x)=\sup_{x\in[a,x_0)}g(x)=\sup_{x\in[a,x_0)}f(x)<\max_{x\in[a,x_0]} f(x)=g(x_0)\tag1[/texx]

Y usando el teorema de convergencia monótona sobre (1) (a través de caracterización secuencial del límite funcional) vemos que tal desigualdad es imposible. De manera similar se puede mostrar lo mismo para una discontinuidad de salto desde la derecha.
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delmar
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« Respuesta #5 : 13/04/2018, 09:48:44 pm »

Hola.

Siguiendo más o menos el camino apuntado por delmar.

Como para todos    [texx]u,v\in{[a,b]}[/texx]    con    [texx]u<v[/texx]    se tiene que

[texx][a,u]\subset{[a,v]}\Longrightarrow{}máx\;f\big([a,v]\big)=max\;\Big\{máx\;f\big([a,u]\big),máx\;f\big([a,v]\big)\Big\}[/texx],

la función    [texx]g[/texx]    no puede decrecer.


Por el teorema de Weierstrass la función    [texx]f[/texx]    tiene máximo en    [texx][a,b][/texx].    Sea    [texx]M[/texx]    ese máximo, entonces,

[texx]g(b)=máx\Big\{f\big([a,b]\big)\Big\}=M[/texx],    en consecuencia,    [texx]\forall\;{x\in{[a,b]}},\;\;\;g(x)\leq{M}[/texx]    y    [texx]g[/texx]    está acotada superiormente,

además, por ser    [texx]g(a)=máx\;f(a)=f(a)[/texx]    y    [texx]g[/texx]   creciente, podemos obtener,

[texx]f(a)\leq{g(x)}\leq{M}[/texx],    y por lo tanto    [texx]g(x)\in{\big[f(a),M\big]}[/texx]    para    [texx]x\in{[a,b]}[/texx].


Sólo falta probar que    [texx]g[/texx]     toma todos los valores del intervalo    [texx]\big[f(a),M\big][/texx]    para probar que es continua en virtud del

Teorema

Toda función monótona definida en un intervalo es continua si, y sólo si, su imagen es un intervalo,


Hasta aquí creo que correcto. Falta lo más complicado.

Sí, esta correcto.

Saludos
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« Respuesta #6 : 14/04/2018, 12:20:56 pm »

No es nada sencillo verlo, pero tenemos que   

[texx]\forall\;{u\in{\big[f(a),M\big]}}.\;\exists\;{t_u\in{[a,b]}}:\;t_u=\sup\big\{x\in{[a,b]}:\;f(s)\leq{u}\;\;\;\textrm{si}\;\;\;s\in{[a,x]}\big\}[/texx],

lo que supone que

[texx]f(t_u)=g(t_u)=u[/texx],

pero esto es lo mismo que decir que    [texx]g[/texx]    es suprayectiva.

Está probado que    [texx]g[/texx]    es creciente, si probamos que lo hace de manera estricta habremos probado que es también inyectiva y por lo tanto biyectiva.

¿Es correcto hasta aquí?, en caso afirmativo, ¿bastaría probar que su crecimiento es estricto para deducir que su imagen es el intervalo    [texx]\big[f(a),M\big][/texx]?



Saludos y gracias.

EDITO.

Pensando un poco más


[texx]\Big[\forall\;{u\in{\big[f(a),M\big]}}.\exists\;{t_u\in{[a,b]}}:\;g(t_u)=u\Big]\Longrightarrow{\Big[g:[a,b]\longrightarrow{\big[f(a),M\big]}\;\;\;\textrm{continua}\Big]}[/texx],

la función    [texx]g[/texx]    es creciente y su imagen es un intervalo lo que implica que es continua    c.q.d.    ¿No?
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« Respuesta #7 : 14/04/2018, 09:57:15 pm »

La parte que has editado, puesto en azul es correcta. Solamente un comentario adicional , g es creciente; pero no necesariamente en forma estricta. Por ejemplo una función f continua en [texx][a,b][/texx] pero que alcanza su máximo únicamente en [texx]c\in{(a,b)}[/texx], implica que la función [texx]g(x)[/texx] es constante a partir de c e igual al máximo de la función f es decir [texx]f(c)[/texx]. En este caso  la función g no es estrictamente creciente.

Saludos
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« Respuesta #8 : 15/04/2018, 08:01:53 am »

Muchísimas gracias delmar. Un saludo.
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #9 : 15/04/2018, 04:25:11 pm »

Usando lo que propuse dado [texx] \epsilon> 0 [/texx] existe [texx]\delta > 0 [/texx] tal que si [texx] |x-y|< \delta [/texx] entonces [texx] |f(x) - f(y)| < \epsilon [/texx]

Entonces [texx] |g(x+h) - g(x) | < \epsilon [/texx] cuando [texx] |h| < \dfrac{\delta}{2} [/texx]

Al ser [texx] |f(x+h) - f(x)|< \epsilon [/texx] para todo [texx] h \in (-\dfrac{\delta}{2},\dfrac{\delta}{2}) [/texx]
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