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Autor Tema: Volumen de revolución generado por la curva de y=1/x. Varios casos  (Leído 642 veces)
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Nexos
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« : 07/04/2018, 01:27:49 am »

Buenas a todos!
Esta vez vengo con un ejercicio que me ha quitado el sueño, literalmente.

1. Hallar el volumen generado al hacer girar la curva [texx]y=1/x[/texx], [texx]y=0[/texx], [texx]x=1[/texx] y [texx]x=4[/texx] alrededor del eje [texx]y[/texx].

Sé que esta integral converge y al hacerla usando el método de capas cilíndricas obtengo que vale [texx]6\pi[/texx]. Es correcto?

Los otros dos casos que deseo analizar son:

2. Hallar el volumen generado al girar la curva [texx]y=1/x[/texx], [texx]y=0[/texx], [texx]x=0[/texx] y [texx]x=1[/texx] alrededor del eje [texx]y[/texx].

Sé que me tocaría usar integrales impropias ya que [texx]x=0[/texx] es una asíntota pero al plantearla con capas cilíndricas obtengo que:

El radio [texx]r(x) = x[/texx] y la altura [texx]h(x)=1/x[/texx].

Computando en la fórmula de capas cilíndricas obtengo:

[texx]\displaystyle\int_{0}^{1}x*(1/x)dx[/texx]

Y las [texx]x[/texx] se simplifican, quedando:

[texx]\displaystyle\int_{0}^{1}dx[/texx]

Y esta integral NO es impropia y yo creo que estoy haciendo algo mal. Les agradecería mucho me ayudaran a entender esta integral o la manera de plantearla.

3. El tercer caso es hacer girar la misma función alrededor del eje [texx]x[/texx]:

Hallar el volumen al hacer girar la curva [texx]y=1/x[/texx], [texx]y=0[/texx], [texx]y=1[/texx] y [texx]x=0[/texx] alrededor del eje [texx]y[/texx].

Muchas gracias de antemano!

EDITADO: Deseo el volumen, no el área. Gracias!
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« Respuesta #1 : 09/04/2018, 03:02:47 am »

Alguien, por favor.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #2 : 09/04/2018, 08:29:04 am »

Hola

 Pues antes de nada aclara que quieres hallar. Estás hablando de calcular un "área", pero por tus cuentas sospecho que querías decir un volumen.

 Concreta con precisión esto.

Saludos.
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« Respuesta #3 : 10/04/2018, 03:46:44 pm »

Sí, qué pena. Deseo es el volumen. Luego preguntaré por el área, esta función es muy interesante. Muchas gracias de antemano!
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« Respuesta #4 : 11/04/2018, 08:33:14 pm »

Alguien, por favor?
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« Respuesta #5 : 16/04/2018, 07:42:20 am »

Hola
 
 Tienes bien los dos casos que has resuelto.

 ¿Qué problemas tienes con el tercero?.

Saludos.
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« Respuesta #6 : 17/04/2018, 05:26:31 am »

Hola
 
 Tienes bien los dos casos que has resuelto.

 ¿Qué problemas tienes con el tercero?.

Saludos.

Muchas gracias por su respuesta!

Sé que el tercer caso es similar al segundo pero el problema está en que no logro comprender porque es que el caso 2 y 3 generan un volumen finito si es que el eje Y y X son asíntotas, respectivamente.

No debería dar un volumen infinito?
Y en el caso de querer analizar el área, debería obtener un área finita o infinita?

Gracias por su atención!
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« Respuesta #7 : 17/04/2018, 05:36:36 am »

Estoy un poco oxidado, así que espera a que responda alguien que sabe más.

Mi forma de verlo:
Fijate que cuando calculamos integrales impropias y convergen, estamos diciendo que el área cuando tiendes a más (respectivamente menos) infinito, es finita, luego el volumen generado por un área finita rotando, es un volumen finito.

Pero ya te digo que lo tengo oxidado.

Editado por una buena indicación de Luis Fuentes.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #8 : 17/04/2018, 07:18:00 am »

Hola

Sé que el tercer caso es similar al segundo pero el problema está en que no logro comprender porque es que el caso 2 y 3 generan un volumen finito si es que el eje Y y X son asíntotas, respectivamente.

No debería dar un volumen infinito?

No tiene porqué; la idea es la misma que cuando encontramos una serie infinita que tiene una "suma" finita, por ejemplo una geométrica:

[texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{1}{2^n}=1[/texx]

Cita
Y en el caso de querer analizar el área, debería obtener un área finita o infinita?

Pues a prioiri no se puede saber si tiene un área finita o finita, habrá que plantear la integral y ver lo que da.

Saludos.
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« Respuesta #9 : 17/04/2018, 07:19:40 am »

Hola

Sé que el tercer caso es similar al segundo pero el problema está en que no logro comprender porque es que el caso 2 y 3 generan un volumen finito si es que el eje Y y X son asíntotas, respectivamente.

No debería dar un volumen infinito?

No tiene porqué; la idea es la misma que cuando encontramos una serie infinita que tiene una "suma" finita, por ejemplo una geométrica:

[texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}\dfrac{1}{2^n}=1[/texx]

Cita
Y en el caso de querer analizar el área, debería obtener un área finita o infinita?

Pues a prioiri no se puede saber si tiene un área finita o finita, habrá que plantear la integral y ver lo que da.

Saludos.

Luis, entonces ¿mi comentario es acertado o no?
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Luis Fuentes
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« Respuesta #10 : 17/04/2018, 07:32:02 am »

Hola

Luis, entonces ¿mi comentario es acertado o no?

Fijate que cuando calculamos integrales impropias y convergen, estamos diciendo que el área cuando tiendes a más (respectivamente menos) infinito, es finita, luego el volumen generado por un área finita rotando, es un volumen finito.

Eso no es cierto en general. Por ejemplo el área que determina [texx]f(x)=1/\sqrt{x}[/texx] entre las rectas [texx]y=0[/texx], [texx]x=0[/texx], [texx]x=1[/texx] es finita pero el volumen de revolución al girar sobre el eje [texx]OX[/texx] es infinito.

Saludos.
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« Respuesta #11 : 17/04/2018, 07:34:31 am »

Apuntado. Ahora mismo tacho.
Gracias.
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« Respuesta #12 : 18/04/2018, 10:00:13 pm »

Muchísimas gracias por su ayuda!
Tenía esa duda, de por qué si la gráfica, en uno de los límites de integración, tiende al infinito, el volumen es finito y claro, hay sumatorias infinitas que convergen por lo que no hay problema!

De veras, gracias!
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