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Autor Tema: Subaditividad  (Leído 6250 veces)
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Luis Fuentes
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« : 16 Marzo, 2018, 08:08 »

Hola

 Sea:

 [texx]w(p)=e^{-(-ln(p))^a}[/texx]
 [texx]g(p)=w(p)+w(b-p)[/texx]

 Se trata de demostrar que el mínimo de [texx]g(p)[/texx] se alcanza o bien en [texx]p=0[/texx] ó en [texx]p=b/2[/texx].

 Dado que [texx]g'(b/2)=0[/texx] es claro que en [texx]b/2[/texx] hay un extremo local, aunque no es un mínimo para cualquier valor de [texx]b[/texx].

 Gráficamente se puede ver que [texx]g(p)[/texx] puede tener un único punto crítico más en [texx][0,p/2][/texx] pero que en ningún caso es un mínimo. Se trata de verificar esto analíticamente.

 Tenemos que:

[texx] g'(p)=w'(p)-w'(b-p)[/texx] 

 Los puntos críticos verifican [texx]w'(p)=w'(b-p)[/texx]. Operando:

[texx] w'(p)=\dfrac{ae^{-(-ln(p))^a}(-ln(p))^{a-1}}{p}[/texx]

 Si llamamos:

[texx] f(p)=ln(w'(p)/a)=-(-ln(p))^a+(a-1)ln(-ln(p))-ln(p)[/texx]

 Los puntos críticos soluciones de [texx]g'(p)=0[/texx] equivalen a las soluciones de [texx]t(p)=f(p)-f(b-p)[/texx].

 Se tiene que [texx]f'(p)=-\dfrac{1}{p}+\dfrac{a(-ln(p))^{a-1}}{p}+\dfrac{a-1}{pln(p)}[/texx], pero no es cierto que [texx]f'(p) >0[/texx] ó [texx]f'(p)<0[/texx] en el intervalo [texx][0,b/2][/texx] sino que en ese intervalo pueda cambiar de signo, como puede verse en la gráfica:



Saludos.

* graficaquema.jpg (5.72 KB - descargado 223 veces.)
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« Respuesta #1 : 16 Marzo, 2018, 09:31 »

A mi me da otra cosa, para [texx]a=0.5[/texx] claramante [texx]f'(p)[/texx] es negativa en todo el intervalo. Mmm. capaz que en el gráfico, lo que pienso que es [texx]p=0[/texx] no lo es.

* Plot_fp.pdf (51.17 KB - descargado 92 veces.)
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« Respuesta #2 : 16 Marzo, 2018, 09:43 »

Hola

A mi me da otra cosa, para [texx]a=0.5[/texx] claramante [texx]f'(p)[/texx] es negativa en todo el intervalo. Mmm. capaz que en el gráfico, lo que pienso que es [texx]p=0[/texx] no lo es.

Pero antes de nada. ¿Qué función estás graficando? Pongámonos de acuerdo en que hablamos de las mismas funciones; la que veo en el PDF no me parece que sea la que yo he indicado en mi primer mensaje.

Saludos.
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« Respuesta #3 : 16 Marzo, 2018, 10:30 »

Hola

En realidad yo expreso (creo que es lo mismo).

[texx]t(p)=(-ln(b-p))^a+(1-a)ln(-ln(b-p))+ln(b-p)-(-ln(p))^a-(1-a)ln(-ln(p))-ln(p)[/texx]


Y quiero probar que solamente tiene dos raíces para [texx]p\in[0,b/2][/texx], una de las cuales es la trivial que es [texx]p=b/2[/texx]. Ahora, una forma de probar que hay solamente otra raíz, es probando que [texx]t(p)[/texx] es convexa.

Entonces me queda

[texx]t''(p)=m(b-p)-m(p)[/texx] siendo

[texx]m(p)=\frac{(log(p) (-a (-log(p))^a + a - 1) + (a - 1) (a (-log(p))^a + 1) - log^2(p))}{(p^2 log^2(p))}[/texx]

Y como [texx]t''(0)>0[/texx] y [texx]t''(b/2)=0[/texx] probando que [texx]-m'(b-p)-m'(p)<0[/texx] pruebo que [texx]t(p)[/texx] es convexa. Que es equivalente a probar que [texx]m'(p)>0[/texx] para todo [texx]p\in[0,b].[/texx]

Ahora, [texx]m'(p)=\frac{(a - 1) (a^2 (-log(p))^a - 2 a (-log(p))^a - 2) + 2 log^2(p) (a ((-log(p))^a - 1) + 1) - 3 (a - 1) log(p) (a (-log(p))^a + 1) + 2 log^3(p)}{p^3 log^3(p)}[/texx]

Y esto, creo que es positivo, para [texx]a=0.5[/texx] me queda como el adjunto. Me estoy dando cuenta que tengo mal este razonamiento, pues tengo que probar además que [texx]m'(p)>0[/texx] para [texx]p\in(b/2,b)[/texx] y eso no se cumple. Me suena que debe tener que poder usarse alguna propiedad de una función impar (pues [texx]m(p)[/texx] es impar respecto al eje [texx]p=b/2[/texx]) o algo similar.




* Plot_.pdf (51.65 KB - descargado 71 veces.)
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« Respuesta #4 : 16 Marzo, 2018, 12:13 »

Hola

Hola

En realidad yo expreso (creo que es lo mismo).

[texx]t(p)=(-ln(b-p))^a+(1-a)ln(-ln(b-p))+ln(b-p)-(-ln(p))^a-(1-a)ln(-ln(p))-ln(p)[/texx]


Y quiero probar que solamente tiene dos raíces para [texx]p\in[0,b/2][/texx], una de las cuales es la trivial que es [texx]p=b/2[/texx]. Ahora, una forma de probar que hay solamente otra raíz, es probando que [texx]t(p)[/texx] es convexa.

Entonces me queda

[texx]t''(p)=m(b-p)-m(p)[/texx] siendo

[texx]m(p)=\frac{(log(p) (-a (-log(p))^a + a - 1) + (a - 1) (a (-log(p))^a + 1) - log^2(p))}{(p^2 log^2(p))}[/texx]

Y como [texx]t''(0)>0[/texx] y [texx]t''(b/2)=0[/texx] probando que [texx]-m'(b-p)-m'(p)<0[/texx] pruebo que [texx]t(p)[/texx] es convexa. Que es equivalente a probar que [texx]m'(p)>0[/texx] para todo [texx]p\in[0,b].[/texx]

Ahora, [texx]m'(p)=\frac{(a - 1) (a^2 (-log(p))^a - 2 a (-log(p))^a - 2) + 2 log^2(p) (a ((-log(p))^a - 1) + 1) - 3 (a - 1) log(p) (a (-log(p))^a + 1) + 2 log^3(p)}{p^3 log^3(p)}[/texx]

Y esto, creo que es positivo, para [texx]a=0.5[/texx] me queda como el adjunto. Me estoy dando cuenta que tengo mal este razonamiento, pues tengo que probar además que [texx]m'(p)>0[/texx] para [texx]p\in(b/2,1)[/texx] y eso no se cumple. Me suena que debe tener que poder usarse alguna propiedad de una función impar (pues [texx]m(p)[/texx] es impar respecto al eje [texx]p=b/2[/texx]) o algo similar.

Ah, tu estabas representando todavía dos derivadas más, es decir, con mi notación no [texx]f'(p)[/texx] sino [texx]f'''(p)[/texx], ya que [texx]m(p)=-f''(p).[/texx]

Y como dices tu argumento de momento no es concluyente; además incluso cuando dices que [texx]m'(p)[/texx] es positiva, ¿lo has comprobado analíticamente o e un gráfico?. Por que en todo este problema gráficamente todo cumple lo que debe; la cosa es probarlo.

Saludos.
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« Respuesta #5 : 16 Marzo, 2018, 12:26 »

No, solamente por un gráfico, por eso incluyo la palabra "creo". Alguna propiedad de funciones impares no se podrá usar?

A lo bruto, debo probar que

[texx][log(b-p) (-a (-log(b-p))^a + a - 1) + (a - 1) (a (-log(b-p))^a + 1)
- log^2(b-p)](p)^2(ln(p))^2-[log(p) (-a (-log(p))^a + a - 1) + (a - 1) (a (-log(p))^a + 1) - log^2(p)](b-p)^2(ln(b-p))^2[/texx] es positivo.

He intentado reexpresar agrupando términos para que me quedara positivo, no se si este camino es viable.
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« Respuesta #6 : 16 Marzo, 2018, 13:47 »

Hola

No, solamente por un gráfico, por eso incluyo la palabra "creo". Alguna propiedad de funciones impares no se podrá usar?

No se.

Cita
A lo bruto, debo probar que

[texx][log(b-p) (-a (-log(b-p))^a + a - 1) + (a - 1) (a (-log(b-p))^a + 1)
- log^2(b-p)](p)^2(ln(p))^2-[log(p) (-a (-log(p))^a + a - 1) + (a - 1) (a (-log(p))^a + 1) - log^2(p)](b-p)^2(ln(b-p))^2[/texx] es positivo.

He intentado reexpresar agrupando términos para que me quedara positivo, no se si este camino es viable.

No sé que quieres decir con si es viable; es una posibilidad, pero digamos que la viabilidad queda determinada por el éxito. Si eres capaz de reagrupar de forma que todos los sumandos sepamos que son positivos, perfectos.

Saludos.
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« Respuesta #7 : 18 Marzo, 2018, 20:52 »

Hice la cuenta larga de [texx]t''(p)[/texx] y me da la siguiente, si copié bien del Mathematica,

[texx]my^2(x^2+x-1+a-ax-a(a+x-1)x^a)-cx^2(y^2+y-1+a-ay-a(a+y-1)y^a)[/texx] siendo [texx]m=(b-p)^2,c=p^2,x=-lnp,y=-ln(b-p)[/texx]

En las simulaciones que hice me da que [texx](m-c)x^2y^2=b(b-2p)x^2y^2[/texx] es mayor que el resto de la suma de los demás sumandos, cuya suma da negativa, haciendo la derivada segunda positiva.
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« Respuesta #8 : 19 Marzo, 2018, 12:41 »

No se puede estudiar los mínimos de la función

[texx]F(x,y)=e^{-y/2}y^2(x^2+x-1+a-ax-a(a+x-1)x^a)-e^{-x/2}x^2(y^2+y-1+a-ay-a(a+y-1)y^a)[/texx] sujeto a [texx]e^{-x}+e^{-y}=b[/texx], haciendo un lagrangiano y ver si es una función positiva?

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« Respuesta #9 : 20 Marzo, 2018, 09:03 »

Hola

No se puede estudiar los mínimos de la función

[texx]F(x,y)=e^{-y/2}y^2(x^2+x-1+a-ax-a(a+x-1)x^a)-e^{-x/2}x^2(y^2+y-1+a-ay-a(a+y-1)y^a)[/texx] sujeto a [texx]e^{-x}+e^{-y}=b[/texx], haciendo un lagrangiano y ver si es una función positiva?



Positiva supongo con la restricción añadida de [texx]x\geq y[/texx] que equivale a [texx]p\leq b/2[/texx].

Poder se puede plantear; ahora cuando nos pongamos a calcular los puntos críticos previsiblemente saldrá una ecuación que no se puede resolver de manera explícita porque aparecerán [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx] mezcladas en exponentes y en polinomios.

Entonces lo que no tengo claro es que arreglemos algo.

Saludos.
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« Respuesta #10 : 01 Abril, 2018, 09:58 »

Otra forma de ver el problema, se me ocurre lo siguiente:

[texx]w(p)[/texx] es una función creciente, cóncava en [texx][0,c][/texx] y convexa en [texx][c,b][/texx]. En el segmento cóncavo [texx]w[/texx] es subaditiva. Para el segmento convexo, como [texx]w(c)=w(1/e)>0[/texx] no podemos aplicar la desigualdad de Petrovic directamente.  Sabemos que aplicando esta desigualdad a [texx]f(x)=w(x)-w(1/e)[/texx] que

[texx]w(x+y)\geq{}w(x)+w(y)-w(1/e)[/texx] para todo [texx]x,y \in[1/e,b/2][/texx].

De alguna forma debemos probar que

[texx]w(x)+w(y)\geq{}w(x+y)[/texx] para todo [texx]x,y \in[1/e,b/2][/texx]. 

Defino [texx]g(x,y)=w(x)+w(y)-w(x+y)[/texx] y sin pérdida de generalidad supongo que [texx]x\geq{}y[/texx] entonces por convexidad de [texx]w[/texx] sabemos que [texx]w'(x+y)\geq{}w'(x)\geq{}w'(y).[/texx]

Ahora [texx]g(1/e,1/e)=2w(1/e)-w(2/e)>0,[/texx] y [texx]g(b/2,b/2)=2w(b/2)-w(b)=0[/texx] por la condición necesaria de subaditividad. Ahora,

[texx]\displaystyle\frac{dg(x,y)}{dx}=w'(x)-w'(x+y)\leq{}0[/texx], [texx]\displaystyle\frac{dg(x,y)}{dy}=w'(y)-w'(x+y)\leq{}0[/texx] y [texx]\displaystyle\frac{d^2g(x,y)}{dydx}=-w''(x+y)\leq{}0[/texx]


por lo tanto

[texx]g(x,y)\geq{}0[/texx] para todo [texx]x,y \in[1/e,b/2].[/texx]








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« Respuesta #11 : 03 Abril, 2018, 07:16 »

Hola

Otra forma de ver el problema, se me ocurre lo siguiente:

[texx]w(p)[/texx] es una función creciente, cóncava en [texx][0,c][/texx] y convexa en [texx][c,b][/texx]. En el segmento cóncavo [texx]w[/texx] es subaditiva. Para el segmento convexo, como [texx]w(c)=w(1/e)>0[/texx] no podemos aplicar la desigualdad de Petrovic directamente.  Sabemos que aplicando esta desigualdad a [texx]f(x)=w(x)-w(1/e)[/texx] que

[texx]w(x+y)\geq{}w(x)+w(y)-w(1/e)[/texx] para todo [texx]x,y \in[1/e,b/2][/texx].

De alguna forma debemos probar que

[texx]w(x)+w(y)\geq{}w(x+y)[/texx] para todo [texx]x,y \in[1/e,b/2][/texx]. 

Defino [texx]g(x,y)=w(x)+w(y)-w(x+y)[/texx] y sin pérdida de generalidad supongo que [texx]x\geq{}y[/texx] entonces por convexidad de [texx]w[/texx] sabemos que [texx]w'(x+y)\geq{}w'(x)\geq{}w'(y).[/texx]

Ahora [texx]g(1/e,1/e)=2w(1/e)-w(2/e)>0,[/texx] y [texx]g(b/2,b/2)=2w(b/2)-w(b)=0[/texx] por la condición necesaria de subaditividad. Ahora,

[texx]\displaystyle\frac{dg(x,y)}{dx}=w'(x)-w'(x+y)\leq{}0[/texx], [texx]\displaystyle\frac{dg(x,y)}{dy}=w'(y)-w'(x+y)\leq{}0[/texx] y [texx]\displaystyle\frac{d^2g(x,y)}{dydx}=-w''(x+y)\leq{}0[/texx]


por lo tanto

[texx]g(x,y)\geq{}0[/texx] para todo [texx]x,y \in[1/e,b/2].[/texx]

Pero eso no llega porque deberíamos de probar la desigualdad para [texx]x,y,x+y\in [0,b][/texx]. ¿No?.

Saludos.
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« Respuesta #12 : 03 Abril, 2018, 09:23 »

Creo que deberíamos probar que

[texx]f(\displaystyle\frac{b}{2}-x)+f(x)\geq{}f(\displaystyle\frac{b}{2})[/texx] para todo [texx]x \in[\displaystyle\frac{1}{e},\displaystyle\frac{b}{2}][/texx] Pues [texx]f[/texx] es subaditiva en [texx][0,\displaystyle\frac{1}{e}][/texx]
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« Respuesta #13 : 04 Abril, 2018, 06:17 »

Hola

[texx]f(\displaystyle\frac{b}{2}-x)+f(x)\geq{}f(\displaystyle\frac{b}{2})[/texx] para todo [texx]x \in[\displaystyle\frac{1}{e},\displaystyle\frac{b}{2}][/texx] Pues [texx]f[/texx] es subaditiva en [texx][0,\displaystyle\frac{1}{e}][/texx]

¿Qué resultado justifica que eso llega?.

Saludos.
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« Respuesta #14 : 04 Abril, 2018, 14:42 »

No se puede aplicar el teorema 5 del trabajo adjunto de esta forma.

Para [texx]n=2,a=b[/texx] entonces debo probar que

[texx]w(\displaystyle\frac{kb}{2})+w(\displaystyle\frac{(2-k)b}{2})\geq{}w(b)[/texx]
Para todo [texx]k=0,1,2[/texx].

Para [texx]k=0[/texx] queda [texx]w(b)=w(b)[/texx]

Para [texx]k=1[/texx] tenemos [texx]w(\displaystyle\frac{b}{2})+w(\displaystyle\frac{b}{2})\geq{}w(b)[/texx] que es la condición necesaria para la subaditividad.

Para [texx]k=2[/texx] tenemos [texx]w(b)\geq{}w(b)[/texx].

Entonces [texx]w(x)[/texx] es subaditiva en [texx][0,b/2][/texx] que es el resultado que queríamos buscar.

* test.pdf (425.87 KB - descargado 97 veces.)
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« Respuesta #15 : 04 Abril, 2018, 14:52 »

Hola

No se puede aplicar el teorema 5 del trabajo adjunto de esta forma.

Para [texx]n=2,a=b[/texx] entonces debo probar que

[texx]w(\displaystyle\frac{kb}{2})+w(\displaystyle\frac{(2-k)b}{2})\geq{}w(b)[/texx]
Para todo [texx]k=0,1,2[/texx].

Para [texx]k=0[/texx] queda [texx]w(b)=w(b)[/texx]

Para [texx]k=1[/texx] tenemos [texx]w(\displaystyle\frac{b}{2})+w(\displaystyle\frac{b}{2})\geq{}w(b)[/texx] que es la condición necesaria para la subaditividad.

Para [texx]k=2[/texx] tenemos [texx]w(b)\geq{}w(b)[/texx].

Entonces [texx]w(x)[/texx] es subaditiva en [texx][0,b/2][/texx] que es el resultado que queríamos buscar.


¿No queremos ver que es subaditiva en [texx][0,b][/texx]?.

Saludos.
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« Respuesta #16 : 04 Abril, 2018, 15:31 »

Eso está explicado por tu mismo acá

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=99090.msg401524#msg401524
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« Respuesta #17 : 05 Abril, 2018, 05:24 »

Hola


No lo veo claro (y no es una afirmación capciosa; no veo claramente donde se supone que explico eso pero no descarto a 100% que no lo esté viendo).

Allí en un momento invoco cierto resultado que permite reducir el problema de la subaditividad en [texx][0,b][/texx] a comprobar que el mínimo de una cierta función en [texx][0,b/2][/texx] cumpla cierta condición; pero ojo eso no quiere decir que reduzca el problema de la subaditividad en [texx][0,b][/texx] al problema de la subaditividad en [texx][0,b/2][/texx].

Saludos.
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« Respuesta #18 : 05 Abril, 2018, 09:31 »

Hola

A ver por simetría, [texx]w[/texx] es subaditiva en [texx][0,b][/texx] si

[texx]w(b-x)+w(x)\geq{}w(b/2)[/texx] para todo [texx]x\in[0,b/2][/texx], de acuerdo?

Es decir, debemos probar, en ese intervalo del dominio, que:

[texx]w(b-x)+w(x)-w(b/2)\geq{}0[/texx]

Ahora, por el teorema 5 sabemos que [texx]w[/texx] es subaditiva en [texx][0,b/2][/texx], es decir

[texx]w(b/2-x)+w(x)\geq{}w(b/2)[/texx] para todo [texx]x\in[0,b/2][/texx], de acuerdo?

Como [texx]w[/texx] es creciente, tenemos que

[texx]w(b-x)+w(x)-w(b/2)\geq{}w(b/2-x)+w(x)-w(b/2)\geq{}0[/texx] para todo [texx]x\in[0,b/2][/texx] y por lo tanto se cumple la desigualdad

[texx]w(b-x)+w(x)\geq{}w(b/2)[/texx] para todo [texx]x\in[0,b/2][/texx].


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« Respuesta #19 : 05 Abril, 2018, 10:35 »

Hola

 A vuelapluma uno sospecha que algo tiene que fallar ahí. Sólo usando que [texx]w[/texx] es creciente parece que mejoras el intervalo de subaditividad que propociona el teorema 5.

 Mirando con calma:

A ver por simetría, [texx]w[/texx] es subaditiva en [texx][0,b][/texx] si

[texx]w(b-x)+w(x)\geq{}\color{red}w(b/2)\color{black}[/texx] para todo [texx]x\in[0,b/2][/texx], de acuerdo?

Es:

[texx]w(b-x)+w(x)\geq{}\color{red}w(b)\color{black}[/texx]

Saludos.
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