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Autor Tema: Curva de polares a paramétricas  (Leído 147 veces)
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guillem_dlc
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« : 14/03/2018, 02:20:59 pm »

Buenas,

A ver si me podéis ayudar a pasar esta curva de polares a paramétricas y a identificarla.

[texx]r=\theta \csc \theta[/texx]

Lo que he intentado es esto:

[texx]r=\theta \csc \theta \rightarrow r=\theta \dfrac{1}{\sin \theta} \rightarrow r\cdot \sin \theta =\theta \rightarrow y=\theta[/texx]

Pero ahora no sé qué mas hacer. En las soluciones pone que es la parábola [texx]y^2 = x[/texx], pero no entiendo el porque.

Gracias

Saludos.
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« Respuesta #1 : 14/03/2018, 03:18:28 pm »

La curva en polares viene expresada como [texx]f(\theta):=r(\theta)(\cos\theta,\sin\theta)[/texx], por tanto en este caso tenemos que [texx]f(\theta)=(\theta\cot\theta,\theta)=(x,y)[/texx]. Entonces nos queda la ecuación [texx]y\cot y=x[/texx], la cual no describe la parábola [texx]y^2=x[/texx].

Por otro lado la parábola [texx]y^2=x[/texx] parametrizada en cartesianas tiene la forma [texx]f(t)=(t^2,t)[/texx], y en polares [texx]f(\theta)=(\tan^2\theta,\tan\theta)[/texx].
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #2 : 14/03/2018, 03:28:25 pm »

Hola

Por otro lado la parábola [texx]y^2=x[/texx] parametrizada en cartesianas tiene la forma [texx]f(t)=(t^2,t)[/texx], y en polares [texx]f(\theta)=(\tan^2\theta,\tan\theta)[/texx].

Eso son otras paramétricas; en polares tiene que ser una ecuación implícita que relacione [texx]r[/texx] y [texx]\theta[/texx].

Sustituyendo [texx]x=rcos(\theta),\quad y=rsin(\theta)[/texx] en [texx]x=y^2[/texx] queda:

[texx]cos(\theta)=rsin^2(\theta)[/texx]

o equivalentemente:

[texx]r=\color{red}\cotg\color{black} \theta \cosec \theta[/texx]

Así que si en las soluciones se refieren a la parábola quizá en el enunciado se "borró" el [texx]\cotg[/texx] por error.

Saludos.
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« Respuesta #3 : 14/03/2018, 03:34:49 pm »

Hola

Por otro lado la parábola [texx]y^2=x[/texx] parametrizada en cartesianas tiene la forma [texx]f(t)=(t^2,t)[/texx], y en polares [texx]f(\theta)=(\tan^2\theta,\tan\theta)[/texx].

Eso son otras paramétricas; en polares tiene que ser una ecuación implícita que relacione [texx]r[/texx] y [texx]\theta[/texx].

Sustituyendo [texx]x=rcos(\theta),\quad y=rsin(\theta)[/texx] en [texx]x=y^2[/texx] queda:

[texx]cos(\theta)=rsin^2(\theta)[/texx]

o equivalentemente:

[texx]r=\color{red}\cotg\color{black} \theta \cosec \theta[/texx]

Así que si en las soluciones se refieren a la parábola quizá en el enunciado se "borró" el [texx]\cotg[/texx] por error.

Saludos.

Sí, eso he hecho pero he mezclado las coordenadas o algo  :cara_de_queso:. Si [texx]r(\theta)=\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta}[/texx] entonces nos queda [texx]f(\theta)=r(\theta)(\cos\theta,\sin\theta)=(\cot^2\theta,\cot\theta)[/texx] (cuando [texx]\sin\theta\neq 0[/texx] me ha faltado poner también), me he liado y he puesto [texx]\tan[/texx] en vez de [texx]\cot[/texx].
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