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Autor Tema: Constante para acotar el laplaciano por el gradiente  (Leído 184 veces)
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mathtruco
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El gran profesor inspira


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« : 14/03/2018, 12:21:16 pm »

Hola a todos. Necesito probar una observación dentro de un paper. Seguramente es algo sencillo, y por eso no dan mayores detalles, pero no logro verlo.

Sea [texx]T[/texx] un triángulo (o tetraedro) y [texx]\mathbb{P}_k(T)[/texx] el conjunto de polinomios de grado menor o igual a [texx]k[/texx] definidos sobre [texx]T[/texx], con [texx]k\geq 2[/texx].

Hallar la constante [texx]C>0[/texx] tal que

    (P)   [texx]\left(\displaystyle\int_T(\Delta v)^2dx\right)^{1/2}\leq C\,\left(\displaystyle\int_T\nabla v\cdot\nabla v\,dx\right)^{1/2}[/texx]     para todo   [texx]v\in \mathbb{P}_k(T)[/texx]


Obviamente, [texx]C[/texx] podría depender de [texx]T[/texx] (el diámetro de [texx]T[/texx]) y [texx]k[/texx], es decir, para cada grado polinomial la constante [texx]C[/texx] seguramente será distinta.

Necesito hallar esta constante [texx]C[/texx] de manera explícita, porque es fundamental para un cálculo que debo hacer (que nada tiene que ver con el paper). Así que si alguien conoce otra forma de calcular [texx]C[/texx] me sería igual de útil.

La indicación es hallar el valor propio más grande [texx]\lambda[/texx] del siguiente problema de valores propios generalizado: Hallar [texx]u\in\mathbb{P}_k(T)\setminus\mathbb{R}[/texx] y [texx]\lambda[/texx] tal que

    (I)  [texx]\displaystyle\int_T\Delta u\,\Delta v\,dx=\lambda\,\int_T\nabla u\cdot\nabla v\,dx[/texx]    para todo    [texx]v\in\mathbb{P}_k(T)\setminus\mathbb{R}[/texx]


El paper de donde lo saqué está en este link, es el Remark 4, en la página 4.

Desde ya, gracias por sus comentarios.


P.S. Compartí el link del artículo desde mi Dropbox. Yo lo bajé legalmente, así que no creo que sea ilegal compartir la versión digital aquí con mis amigos  :guiño:
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