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Autor Tema: Base y matriz de transformación  (Leído 592 veces)
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christian
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« : 14/03/2018, 12:16:25 pm »

Hola amigos, tengo un ejercicio que no estoy muy seguro de mis soluciones, les agradecería si me pueden corregir o guiar en cómo hacerlo por favor:

Considere el subconjunto

[texx]X=\{(x_1,x_2,x_2-x_1,3x_2):x_1\;x_2\,\in{}\,\mathbb{R}\}[/texx]

de [texx]\mathbb{R}^4[/texx] y la funcion [texx]f:X\longrightarrow{}X[/texx] dada por

[texx]f(x_1,x_2,x_2-x_1,3x_2)=(x_1,x_1,0,3x_1)[/texx]

[texx]a)[/texx] Encuentre una base para [texx]X[/texx].

Solución: [texx]B=\{(1,0,-1,0),(0,1,1,3)\}[/texx] ¿es correcto o incorrecto?

[texx]b)[/texx] Encuentre la matriz de transformación con respecto a la base canónica.

Solución: debo buscar solo [texx]f(1,0,-1,0)=(1,1,0,3)[/texx] y [texx]f(0,1,1,3)=(0,0,0,0)[/texx] y la matriz será [texx]4*2[/texx] cuyas columnas son estas imágenes o debo buscar [texx]f(1,0,-1,0),\;f(0,1,1,3)\;f(0,0,0,0)\;f(0,0,0,0)[/texx] y la matriz será [texx]4*4[/texx] cuyas columnas serán esas imágenes. ¿Cuál es la manera correcta?

Muchas gracias.

Saludos.
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« Respuesta #1 : 14/03/2018, 12:42:03 pm »

La a) está bien pero la b) no. La base canónica de [texx]\Bbb R^4[/texx] es la lista [texx]e_1:=(1,0,0,0),\,e_2:=(0,1,0,0),\,e_3:=(0,0,1,0),\,e_4:=(0,0,0,1)[/texx]. La matriz que representa la acción de [texx]f[/texx] es de [texx]4\times 4[/texx] ya que es una función entre subespacios de [texx]\Bbb R^4[/texx].

Tal matriz, denominémosla [texx]A[/texx], queda definida por las ecuaciones [texx]Ae_k= f(e_k)[/texx]. Se puede comprobar que esto es lo mismo que decir que las columnas de la matriz [texx]A[/texx] son los vectores [texx]f(e_k)[/texx].



AÑADO: la matriz resultante no es única, es decir, que [texx]f[/texx] se puede representar de infinitas maneras. Si denominamos [texx]v_1:=(1,0,-1,0)[/texx] y [texx]v_2:=(0,1,1,3)[/texx] entonces tenemos las ecuaciones

[texx]\displaystyle f(v_1)=Ae_1-Ae_3,\quad f(v_2)=Ae_2+Ae_3+3Ae_4[/texx]

que definen matrices [texx]A[/texx], en la base canónica de [texx]\Bbb R^4[/texx], que representan la acción de [texx]f[/texx].

P.D.: he omitido las transposiciones, es decir, se debe entender que los vectores [texx]f(v_k)[/texx] y [texx]e_k[/texx] son vectores columna.
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christian
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« Respuesta #2 : 14/03/2018, 01:21:08 pm »

Hola amigo, gracias por tu respuesta, mi confusión es por la definición de [texx]f[/texx] por ejemplo para [texx](1,0,0,0)[/texx] tenemos que [texx]f(x_1,x_2,x_2-x_1,3x_2)=f(1,0,0-1,3(0))=f(1,0,-1,0)=(1,1,0,3)[/texx]. ¿Es incorrecto así entonces? ¿Cuál es la primera columna de la matriz?

Muchas gracias.

Saludos.
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« Respuesta #3 : 14/03/2018, 01:36:17 pm »

Hola amigo, gracias por tu respuesta, mi confusión es por la definición de [texx]f[/texx] por ejemplo para [texx](1,0,0,0)[/texx] tenemos que [texx]f(x_1,x_2,x_2-x_1,3x_2)=f(1,0,0-1,3(0))=f(1,0,-1,0)=(1,1,0,3)[/texx]. ¿Es incorrecto así entonces? ¿Cuál es la primera columna de la matriz?

Muchas gracias.

Saludos.


Es incorrecto. No puedes obtener el valor de [texx]f(e_1)=f(1,0,0,0)[/texx] directamente ya que [texx]e_1\notin X[/texx], es decir, estás confundiendo [texx]x_1\in\Bbb R[/texx] y [texx]e_1\in\Bbb R^4[/texx].

De las ecuaciones dejadas en mi anterior respuesta puedes elegir (por ejemplo) la primera y la segunda columna de [texx]A[/texx], que corresponden a los vectores columna [texx]Ae_1[/texx] y [texx]Ae_2[/texx]. O también podrías elegir las columnas 3 y 4, o la 2 y la 3, etc...

Es decir: todas la matrices definidas por esas ecuaciones representan la acción de [texx]f[/texx]. Supongamos que elegimos que las columnas 3 y 4 valgan cero, entonces definimos una matriz [texx]A[/texx] por la primera columna [texx]f(v_1)=(1,1,0,3)[/texx] y la segunda [texx]f(v_2)=(0,0,0,0)[/texx], es decir, nos quedaría la matriz

[texx]\displaystyle A=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\3&0&0&0\end{bmatrix}[/texx]

Observa que tal matriz cumple las ecuaciones [texx]Av_1=f(v_1),\, Av_2=f(v_2)[/texx], que es en definitiva lo que queremos, es decir, [texx]A[/texx] representa a [texx]f[/texx].
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christian
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« Respuesta #4 : 14/03/2018, 01:39:35 pm »

Excelente amigo, si tienes razón yo estaba muy confundido en esa parte, muchas gracias por tu excelente explicación.

Saludos :sonrisa:
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Luis Fuentes
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« Respuesta #5 : 14/03/2018, 01:52:36 pm »

Hola

[texx]b)[/texx] Encuentre la matriz de transformación con respecto a la base canónica.

En realidad para mi simplemente ese apartado está mal enunciado; no tiene sentido.

La aplicación lineal [texx]f[/texx] es un endomorfismo definido en el espacio vectorial [texx]X[/texx] (que es un subespacio de [texx]\mathbb{R}^4[/texx]), en el cual no tiene sentido hablar de base canónica; no hay una forma canónica de elegir una base de [texx]X[/texx].

Lo lógico sería que en ese apartado te pidiesen hallar la matriz asociada respecto a la base [texx]B[/texx] que obtuviste en el apartado (a) (te lo recomiendo en cualquier caso para practicar conceptos).

En un intento (razonable, si no queremos directamente "tirarlo a la basura"  :sonrisa:) de salvar el enunciado, Masacroso propone extender la aplicación a todo [texx]\mathbb{R}^4[/texx]. Como bien dice hay infinitas formas de hacerlo y entonces calcula la matriz asociada de una posible extensión de [texx]f[/texx] (que no de [texx]f[/texx]) respecto a la base canónica.

Saludos.
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