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Autor Tema: Intersección de curvas y gráfica de superficie con la directriz  (Leído 382 veces)
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Nexos
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« : 14/03/2018, 03:26:00 am »

Buenos días!

El día de hoy vengo a hacer dos preguntas pertenecientes a un taller de Cálculo vectorial (Matemáticas 3 en Colombia).

1. Dadas las superficies con ecuaciones [texx]x^2+y^2=2y[/texx] y [texx]x^2+y^2=z[/texx], grafíquelas y parametrice la curva de intersección indicando el intervalor del parámetro y el sentido del recorrido.

En este punto, lo que hice fue igualar ambas ecuaciones y obtengo la curva [texx]2y=z[/texx] que es la ecuación de una recta (o un plano en R3) pero no encuentro la lógica a esta respuesta ya que la primera superficie es un cilindo cuya proyección en el plano [texx]x-y[/texx] es una circunferencia con centro en (0,1) y la segunda superficie es un paraboloide con vértice en el origen y eje focal paralelo al eje z. La intersección de estas superficies NO es una recta por lo que les pido ayuda para entender qué es lo que está pasando, por favor.

2. Encuentre la ecuación de la superficie cilíndrica cuya curva directriz tiene la ecuación [texx]y=|4-x^2|[/texx].

Mi duda con este punto es encontrar la ecuación como tal. La curva directriz es una parábola en el plano [texx]x-y[/texx] con la parte negativa encima del eje x por el valor absoluto. Lo que intenté fue parametrizar haciendo [texx]x=t, y|4-t^2|[/texx] pero cómo hago con la componente en z?

Muchas gracias de antemano!
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 14/03/2018, 06:46:19 am »

Hola

Buenos días!

El día de hoy vengo a hacer dos preguntas pertenecientes a un taller de Cálculo vectorial (Matemáticas 3 en Colombia).

1. Dadas las superficies con ecuaciones [texx]x^2+y^2=2y[/texx] y [texx]x^2+y^2=z[/texx], grafíquelas y parametrice la curva de intersección indicando el intervalor del parámetro y el sentido del recorrido.

En este punto, lo que hice fue igualar ambas ecuaciones y obtengo la curva [texx]2y=z[/texx] que es la ecuación de una recta (o un plano en R3) pero no encuentro la lógica a esta respuesta ya que la primera superficie es un cilindo cuya proyección en el plano [texx]x-y[/texx] es una circunferencia con centro en (0,1) y la segunda superficie es un paraboloide con vértice en el origen y eje focal paralelo al eje z. La intersección de estas superficies NO es una recta por lo que les pido ayuda para entender qué es lo que está pasando, por favor.

El problema es que no has terminado de resolver el sistema. Combinando las dos ecuaciones has obtenido la ecuación [texx]2y=z[/texx] (que es un plano, no una recta). Pero la curva que buscas es la intersección de ese plano con una de las dos superficies iniciales (cualquiera que uses te vale).

Por ejemplo usando la del cilindro las ecuaciones implícitas de la curva son:

[texx]x^2+y^2=2y[/texx]
[texx]z=2y[/texx]

La puedes parametrizar cómodamente a partir del cilindro que puedes escribir como:

[texx]x^2+(y-1)^2=1[/texx]

y tomar entonces coordenadas cilíndricas trasladadas:

[texx]x=cos(t)[/texx]
[texx]y=1+sin(t)[/texx]
[texx]z=2y=2(1+sin(t))[/texx]

Cita
2. Encuentre la ecuación de la superficie cilíndrica cuya curva directriz tiene la ecuación [texx]y=|4-x^2|[/texx].

Mi duda con este punto es encontrar la ecuación como tal. La curva directriz es una parábola en el plano [texx]x-y[/texx] con la parte negativa encima del eje x por el valor absoluto. Lo que intenté fue parametrizar haciendo [texx]x=t, y|4-t^2|[/texx] pero cómo hago con la componente en z?

Ten en cuenta que una superficie se parametriza con dos parámetros. La coordenada [texx]z[/texx] es libre, es decir, una parametrización sería:

[texx]x=t[/texx]
[texx]y=|4-t^2|[/texx]
[texx]z=s[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #2 : 14/03/2018, 06:54:45 am »

Muchas gracias por la respuesta!

Mi duda es, cómo puedo graficar la ecuación parametrizada de la intersección y el sentido del movimiento? El parámetro t va de 0 a 2pi cierto?

En el segundo ejercicio, tengo la ecuación parametrizada pero cómo hago para encontrar la cartesiana?

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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #3 : 14/03/2018, 07:04:10 am »

Buenos días!

El día de hoy vengo a hacer dos preguntas pertenecientes a un taller de Cálculo vectorial (Matemáticas 3 en Colombia).

1. Dadas las superficies con ecuaciones [texx]x^2+y^2=2y[/texx] y [texx]x^2+y^2=z[/texx], grafíquelas y parametrice la curva de intersección indicando el intervalor del parámetro y el sentido del recorrido.

En este punto, lo que hice fue igualar ambas ecuaciones y obtengo la curva [texx]2y=z[/texx] que es la ecuación de una recta (o un plano en R3) pero no encuentro la lógica a esta respuesta ya que la primera superficie es un cilindo cuya proyección en el plano [texx]x-y[/texx] es una circunferencia con centro en (0,1) y la segunda superficie es un paraboloide con vértice en el origen y eje focal paralelo al eje z. La intersección de estas superficies NO es una recta por lo que les pido ayuda para entender qué es lo que está pasando, por favor.

Lo que ocurre es que la intersección está contenida en ese plano. De esta manera la intersección de ese plano y cualquiera de las dos superficies coincide con la intersección de las superficies dadas.

Para parametrizarla, puedes parametrizar la circunferencia intersección del cilindro con el plano [texx]Oxy[/texx], la circunferencia [texx]\{x^2 + y^2 = 2y, z = 0\}[/texx], y hacer [texx]z = 2y[/texx], de manera que la curva será [texx]c(t) = (x(t), y(t), 2y(t))[/texx]. El intervalo del parámetro y el sentido del recorrido se infieran de la parametrización de la circunferencia.


2. Encuentre la ecuación de la superficie cilíndrica cuya curva directriz tiene la ecuación [texx]y=|4-x^2|[/texx].

Mi duda con este punto es encontrar la ecuación como tal. La curva directriz es una parábola en el plano [texx]x-y[/texx] con la parte negativa encima del eje x por el valor absoluto. Lo que intenté fue parametrizar haciendo [texx]x=t, y|4-t^2|[/texx] pero cómo hago con la componente en z?


Ten en cuenta que aquí está parametrizando una superficie, para lo que necesitarás dos parámetros. Al tratarse de una superficie cilíndrica, nos falta la dirección de las generatrices. Si son paralelas al eje [texx]Oz[/texx], sería simplemente

[texx]S(t, u) = (t, \left |{4-t^2}\right |, u)[/texx]

En general, si la dirección de las generatrices fuese la del vector [texx]\vec{v}= (v_1, v_2, v_3)[/texx], sería

[texx]S(t, u) = (t + u\cdot v_1, \left |{4-t^2}\right |+ u\cdot v_2, u\cdot v_3)[/texx]

Saludos,

No vi la 1ª respuesta de Luis Fuentes y ahora iba a subir la grafica de GeoGebra en 3D, pero ya no ha lugar ...
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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)
Luis Fuentes
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« Respuesta #4 : 14/03/2018, 07:08:45 am »

Hola

Mi duda es, cómo puedo graficar la ecuación parametrizada de la intersección y el sentido del movimiento? El parámetro t va de 0 a 2pi cierto?

Cuando deices que no sabes como puedo graficar la curva intersección, no sé si te refieres a enteder las matemáticas que habría que usar para hacerlo (esencilamente dar valores al parámetro t e ir dibujando los puntos) o que no conoces ningún programa de ordenador que te haga el gráfico cómoda y rápidamente.

Si es lo primero, especifica las dudas.

Si es lo segundo, puedes usar el geogebra.


Por otra parte, si el parámetro va de [texx]0[/texx] a [texx]2\pi[/texx]. Respecto al sentido de giro no estoy seguro de que a te te refieres; el llamarle sentido positivo o negativo para el recorrido de una curva plana en el espacio depende de como orientemos el vector normal al plano.

Cita
En el segundo ejercicio, tengo la ecuación parametrizada pero cómo hago para encontrar la cartesiana?

¡La cartesiana es lo que te daban!:

[texx]y=|4-x^2|[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #5 : 07/04/2018, 01:16:45 am »

Muchas gracias! Y qué pena la demora en responder.
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