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Autor Tema: \(\prod_{k=1}^{n}(1+a^{2k})\ge\frac{1-a^{2n+2}}{1-a^2}\) con \(a\ne 1,-1\).  (Leído 481 veces)
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mathman
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« : 14/03/2018, 02:08:48 am »

Sea [texx]a\ne 1,-1[/texx] un número real. Pruebe que [texx]\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1+a^{2k})\ge\frac{1-a^{2n+2}}{1-a^2}[/texx], para todo entero positivo [texx]n[/texx].
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 14/03/2018, 06:27:33 am »

Hola

Sea [texx]a\ne 1,-1[/texx] un número real. Pruebe que [texx]\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1+a^{2k})\ge\frac{1-\color{red}a^{2n}+2\color{black}}{1-a^2}[/texx], para todo entero positivo [texx]n[/texx].

Creo que lo tienes mal escrito. Debería de ser:

[texx]\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1+a^{2k})\ge\frac{1-\color{red}a^{2n+2}\color{black}}{1-a^2}[/texx]

Para el paso inductivo tienes que probar que:

[texx]\dfrac{(1+a^{2n+2})(1-a^{2n+2})}{1-a^2}\geq \dfrac{1-a^{2n+4}}{1-a^2}[/texx]

A la hora de simplificar denominadores distingue si [texx]1-a^2[/texx] es positivo o negativo (si es negativo cambia el signo de la desigualdad); teniendo en cuenta eso es fácil concluir.

Saludos.
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