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Autor Tema: Transformación lineal y producto  (Leído 261 veces)
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christian
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« : 13/03/2018, 11:11:45 pm »

Hola, tengo un ejercicio que consta de tres partes, ya resolví las primeras 2 pero me falta una, les agradecería su ayuda, dice así:

Supongamos [texx]V=\mathbb{R}^3[/texx] y [texx]W=\mathbb{R}^2[/texx].

Sea [texx]f:V\longrightarrow{}W[/texx] definida por [texx]f(x,y,z)=(2x+z,3y)[/texx].

[texx]i)[/texx] Encuentre la matriz [texx]A[/texx] de [texx]f[/texx] con respecto a la base estándar para [texx]V[/texx] y [texx]W[/texx].

Solución: al resolverlo me dio la matriz [texx]A=\begin{bmatrix}{2}&{0}&{1}\\{0}&{3}&{0}\end{bmatrix}[/texx].

[texx]ii)[/texx] Encuentre la matriz [texx]B[/texx] de [texx]f[/texx] con respecto a la base [texx]\{(2,1,0),(1,2,0),(0,0,1)\}[/texx] para [texx]V[/texx] y la base [texx]\{(1,1),(0,-1)\}[/texx] para [texx]W[/texx].

Solución: al resolverlo me dio la matriz [texx]B=\begin{bmatrix}{4}&{2}&{1}\\{1}&{-4}&{1}\end{bmatrix}[/texx].

Me falta es la parte [texx]iii)[/texx] que dice:

Encuentre matrices [texx]P[/texx] y [texx]Q[/texx] tal que [texx]B=PAQ[/texx]

Muchas gracias por su ayuda.

Saludos.
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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #1 : 14/03/2018, 04:05:34 am »

[texx]A=\begin{bmatrix}{2}&{0}&{1}\\{0}&{3}&{0}\end{bmatrix}[/texx]   [texx]B=\begin{bmatrix}{4}&{2}&{1}\\{1}&{-4}&{1}\end{bmatrix}[/texx]

Están correctamente calculadas.

Me falta es la parte [texx]iii)[/texx] que dice: Encuentre matrices [texx]P[/texx] y [texx]Q[/texx] tal que [texx]B=PAQ[/texx]

La matriz de cambio base en [texx]\mathbb{R}^3[/texx] de la estándar a la nueva que nos dan se obtiene transponiendo coeficientes:

          [texx]P_1=\begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{2}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}[/texx]

y análogamente para [texx]\mathbb{R}^2[/texx]

          [texx]Q_1=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{1}&{-1}\end{bmatrix}[/texx]

Por un conocido teorema (mira el primer teorema aquí), la matriz de [texx]f[/texx] en las nuevas bases es [texx]Q_1^{-1}AP_1[/texx], en consecuencia [texx]P=Q_1^{-1}[/texx] y [texx]Q=P_1[/texx].
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christian
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« Respuesta #2 : 14/03/2018, 11:48:28 am »

Hola amigo, excelente! muchas gracias.

Saludos.
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