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Autor Tema: Punto de inflexión  (Leído 162 veces)
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conchivgr
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« : 13/03/2018, 04:48:17 pm »

Hola.

Cómo se hayan los puntos de inflexión de una curva en el plano proyectivo?.

Sea la curva con característica [texx]3[/texx], [texx]F={X_0}^2X_2-{X_1}^3[/texx].

Esta curva es irreducible, con un único punto en el infinito es la singularidad [texx](0:0:1)[/texx], y [texx]H_F=0[/texx], donde [texx]H_F[/texx] es el determinante Hessiano.

Los puntos regulares son los puntos finitos que satisfacen [texx]Y=X^3[/texx], por lo que tenemos un punto de inflexión en [texx](0,0)[/texx]

Por qué dice eso?.

Es decir, la expresión [texx]Y=X^3[/texx] surge de "deshomogeneizar" la curva, no?.

Además, dice que para cualquier punto [texx](a,b)[/texx] finito en la curva satisface que:

[texx]Y-X^3=Y-X^3-(b-a^3)=Y-b-(X-a)^3[/texx]

por lo que cualquier punto regular es un punto de inflexión.

No entiendo nada la última parte. Quizás tiene que ver que la característica de la curva sea [texx]3[/texx]?.

Y el Hessiano?. No se usa para obtener los puntos de inflexión?.

Besos.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 13/03/2018, 07:42:06 pm »

Hola

Sea la curva con característica [texx]3[/texx], [texx]F={X_0}^2X_2-{X_1}^3[/texx].

Esta curva es irreducible, con un único punto en el infinito es la singularidad [texx](0:0:1)[/texx], y [texx]H_F=0[/texx], donde [texx]H_F[/texx] es el determinante Hessiano.

Los puntos singulares son los de la curva que anulan simultáneamente sus parciales:

[texx]F_{x_0}=2x_0^2x_2,\quad F_{x_1}=-3x_1^2=0,\quad F_{x_2}=x_0^2[/texx]

De ahí [texx]x_0=0[/texx] (la recta de puntos del infinito) y sustituyendo en la curva [texx]x_1=0.[/texx] Son puntos del infinto porque [texx]x_0=0[/texx].

Cita
Los puntos regulares son los puntos finitos que satisfacen [texx]Y=X^3[/texx], por lo que tenemos un punto de inflexión en [texx](0,0)[/texx]

Si deshomogeneizamos ahora tomando:

[texx]\dfrac{X_1}{X_0}=X,\qquad \dfrac{X_2}{X_0}=Y[/texx]

Queda la curva [texx]Y=X^3[/texx]. Son puntos finitos porque suponemos [texx]X_0\neq 0[/texx]. Claramente tiene un punto de inflexión en [texx](0,0)[/texx], porque ahí la tangente es la recta [texx]y=0[/texx] y corta a la curva con multiplicidad [texx]3[/texx] (para ser de inflexión debe de cortar con multiplicidad mayor que dos).

Cita
Es decir, la expresión [texx]Y=X^3[/texx] surge de "deshomogeneizar" la curva, no?.

Si.

Cita
Además, dice que para cualquier punto [texx](a,b)[/texx] finito en la curva satisface que:

[texx]Y-X^3=Y-X^3-(b-a^3)=Y-b-(X-a)^3[/texx]

por lo que cualquier punto regular es un punto de inflexión.

Por ser un cuerpo de característica [texx]3[/texx] se cumple que [texx](m+n)^3=m^3+n^3.[/texx]

Entonces cualquier punto [texx](a,b)[/texx] de la curva por pertenecer a ella cumple [texx]b=a^3[/texx] y por el razonamiento que muestras la ecuación también puedes escribirse como: [texx](Y-b)=(X-a)^3[/texx], luego [texx](a,b)[/texx] es también un punto de inflexión. Todo punto de la curva es de inflexión.

Saludos.

P.D. Supongo que estas mirando estas notas:

https://people.math.ethz.ch/~pink/Theses/2008-Bachelor-Andreas-Steiger.pdf
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conchivgr
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« Respuesta #2 : 14/03/2018, 05:33:01 am »

Hola.

Muchísimas gracias por las explicaciones.

Besos.

PD: Si, estoy mirando esas notas
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