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Autor Tema: Densidad del conjunto Q  (Leído 183 veces)
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caracu
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« : 13/03/2018, 12:59:47 pm »

Hola, buenas tardes.

El motivo de este mensaje no es que no pueda resolver un ejercicio si no que no entiendo parte de la teoría que se presenta en un libro de un curso de matemática del secundario en el ingreso a mi universidad. El curso de ingreso lo aprobé favorablemente pero revisando este libro encontré esto que estoy a punto de comentar ahora y dando vueltas no le encuentro el sentido. Sin mas rodeos, el libro dice, cuando habla de la densidad del conjunto de números racionales:

[texx]\text{Si tomamos dos números racionales, por ejemplo: }\frac{1}{2}\text{ y }\frac{1}{3}\text{ tal que }\frac{1}{3} < \frac{1}{2}\text{ y sumamos numeradores y denominadores de ambas fracciones, obtenemos: }
\\\ \frac{1}{3} < \frac{1+1}{3+2} < \frac{1}{2} \Longrightarrow{} \frac{1}{3} < \frac{2}{5} < \frac{1}{2}
\\\ \text{*Recuerde que }\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \Longleftrightarrow{} \text{ a.d < b.c ( b>0 ∧ d>0)}
\\\ \text{Se vuelve a efectuar este procedimiento entre }\frac{1}{3} \text{ y } \frac{2}{5}
\\\ \frac{1}{3}<\frac{1+2}{3+5}<\frac{2}{5}\Longrightarrow{}\frac{1}{3}<\frac{3}{8}<\frac{2}{5}
\\\ \text{Quiere decir que siempre existe otra fracción comprendida entre dos cualesquiera (existen infinitas)}
\\\ \text{Definición: entre dos numeros racionales siempre existe otro (infinitos otros)}
[/texx]

Lo que no entiendo es el método, la lógica, eso de sumar denominadores y asumir que el valor va a estar en el medio de los dos valores anteriores. Estuve probando con otros números y parece servir, pero me gustaría ver una demostración mas genérica que sirva para todo caso. Mi forma de encontrar un número racional entre dos racionales siempre había sido de buscar el m.c.m de los dos denominadores, usarlo como denominador y con eso buscar un valor que se encuentre entre los valores dados.

Además, me gustaría saber qué otra información surge de esta operación de sumar denominadores. Porque he visto que a veces el valor resultante es el valor intermedio, otras veces no.

Desde ya muchas gracias por cualquier colaboración con este tema.
Saludos.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 13/03/2018, 01:09:59 pm »

Hola

 Nota que (asumiendo todos los números positivos)

[texx] \dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d}[/texx]

 equivale mutliplicando en cruz a que:

[texx] ad<bc[/texx]  (*)

 Para comprobar que:

 [texx] \dfrac{a}{b}<\dfrac{c+a}{d+b}[/texx]

 Tenemos que ver que multiplicando en cruz se cumple que:

[texx] a(d+b)<b(c+a)[/texx]

 Quitando paréntesis y simplificando queda:

[texx] ad+ad<bc+ab[/texx]
[texx] ad<bc[/texx]

 que es justo (*).

 Análogamente pruebas que:

 [texx] \dfrac{c+a}{d+b}<\dfrac{c}{d}[/texx]

Saludos.
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caracu
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« Respuesta #2 : 13/03/2018, 01:20:36 pm »

Gracias! No me di cuenta que había que pensarlo de esa manera. Te corrijo un detalle en rojo:

Hola

 Nota que (asumiendo todos los números positivos)

[texx] \dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d}[/texx]

 equivale mutliplicando en cruz a que:

[texx] ad<bc[/texx]  (*)

 Para comprobar que:

 [texx] \dfrac{a}{b}<\dfrac{c+a}{d+b}[/texx]

 Tenemos que ver que multiplicando en cruz se cumple que:

[texx] a(d+b)<b(c+a)[/texx]

 Quitando paréntesis y simplificando queda:

[texx] ad+a\color{red}b\color{black}<bc+ab[/texx]
[texx] ad<bc[/texx]

 que es justo (*).

 Análogamente pruebas que:

 [texx] \dfrac{c+a}{d+b}<\dfrac{c}{d}[/texx]

Saludos.

De nuevo, muchas gracias por la respuesta tan rápida.
Saludos.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 13/03/2018, 01:25:50 pm »

Hola

 Añado también que otra forma natural de encontrar un número intermedio entre dos dados es tomar su media es decir si [texx]x<y[/texx] se cumple:

[texx]x<\dfrac{x+y}{2}<y[/texx]

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

 Por ejemplo si [texx]x=1/3 [/texx] e [texx]y=1/2[/texx] se tiene:

[texx] x+y=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{6}[/texx]

y

[texx]\dfrac{x+y}{2}=\dfrac{5}{12}[/texx]

de manera que:

[texx]\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{12}<\dfrac{5}{12}<\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}[/texx]

Saludos.
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caracu
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« Respuesta #4 : 13/03/2018, 02:29:39 pm »

Hola, sí, ese método ya lo había visto justo antes de mandar el primer mensaje, supongo que viene bien para ponerlo junto a este tema. Muchas gracias. Saludos.
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