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Autor Tema: Conjunto abierto en topología relativa tras aplicar un homeomorfismo  (Leído 356 veces)
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Eparoh
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« : 13/03/2018, 09:47:26 am »

Hola a todos.
Tengo una aplicación de la forma [texx]f:U\subset{}\mathbb{R}^2\longrightarrow{}f(U)\subset{}\mathbb{R}^3[/texx] donde [texx]U[/texx] es un abierto en [texx]\mathbb{R}^2[/texx] y [texx]f(U)[/texx] es el conjunto imagen por [texx]U[/texx] con la topología relativa en [texx]\mathbb{R}^3[/texx] y se supone que [texx]f[/texx] es un homeomorfismo entre estos dos espacios topológicos.
Si ahora definimos un espacio topológico [texx]S[/texx] también con la topología relativa en [texx]\mathbb{R}^3[/texx] y de modo que [texx]f(U) [/texx] está contenido en [texx]S[/texx], mi pregunta es si podemos asegurar que [texx]f(U)[/texx] sea un abierto en [texx]S[/texx].
Un saludo, y muchas gracias por sus respuestas.
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« Respuesta #1 : 13/03/2018, 10:39:49 am »

En general no. Mira aquí para más información. Un homeomorfismo de [texx]U\subset\Bbb R^2[/texx] en [texx]\Bbb R^3[/texx] implica que [texx]f(U)[/texx] no es abierto en [texx]\Bbb R^3[/texx] por tanto para que [texx]f(U)[/texx] fuese abierto en [texx]S[/texx] este conjunto no podría ser abierto.

Es decir: no se cumpliría para cualquier [texx]S[/texx] sino para algunos determinados.
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« Respuesta #2 : 13/03/2018, 11:28:34 am »

Gracias, no conocía este teorema así enunciado y su consecuencia.
Planteo ahora otra duda, en el contexto que intentaba saber la veracidad o falsedad de esta afirmación es en el de la geometría diferencial, donde el conjunto S al que hago referencia es una superficie regular, y el homeomorfismo sería una parametrización de éste.
Para no dejar lugar a dudas, tengo la siguiente definición de superficie regular.

Un conjunto [texx]S\in\mathbb{R}^3[/texx] es una superficie regular si para cada [texx]p \in S[/texx] existe un abierto [texx]U[/texx]
 de [texx]\mathbb{R}^2[/texx], un entorno abierto [texx]V[/texx] de [texx]p[/texx] en [texx]S[/texx] y una aplicación diferenciable [texx]X:U\longrightarrow{}\mathbb{R}^3[/texx] tal que se cumple
1. [texx]X(U)=V[/texx]
2. [texx]X:U\longrightarrow{}V[/texx] es un homeomorfismo
3. La diferencial de [texx]X[/texx] en [texx]q[/texx] es inyectiva, para cada [texx]q \in U[/texx]

Con esto, lo que trataba de averiguar es, si es posible a partir de esta definición discernir si de una aplicación cualquiera [texx]X[/texx] que cumpla 2 y 3, (definiendo [texx]V=X(U)[/texx]) y tal que [texx]p \in X(U)\subset S[/texx] cumpliría también 1. Es decir, si la imagen de esta aplicación sería un abierto en [texx]S[/texx].
Un saludo
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« Respuesta #3 : 13/03/2018, 01:02:02 pm »

Hola

Gracias, no conocía este teorema así enunciado y su consecuencia.
Planteo ahora otra duda, en el contexto que intentaba saber la veracidad o falsedad de esta afirmación es en el de la geometría diferencial, donde el conjunto S al que hago referencia es una superficie regular, y el homeomorfismo sería una parametrización de éste.
Para no dejar lugar a dudas, tengo la siguiente definición de superficie regular.

Un conjunto [texx]S\in\mathbb{R}^3[/texx] es una superficie regular si para cada [texx]p \in S[/texx] existe un abierto [texx]U[/texx]
 de [texx]\mathbb{R}^2[/texx], un entorno abierto [texx]V[/texx] de [texx]p[/texx] en [texx]S[/texx] y una aplicación diferenciable [texx]X:U\longrightarrow{}\mathbb{R}^3[/texx] tal que se cumple
1. [texx]X(U)=V[/texx]
2. [texx]X:U\longrightarrow{}V[/texx] es un homeomorfismo
3. La diferencial de [texx]X[/texx] en [texx]q[/texx] es inyectiva, para cada [texx]q \in U[/texx]

Con esto, lo que trataba de averiguar es, si es posible a partir de esta definición discernir si de una aplicación cualquiera [texx]X[/texx] que cumpla 2 y 3, (definiendo [texx]V=X(U)[/texx]) y tal que [texx]p \in X(U)\subset S[/texx] cumpliría también 1. Es decir, si la imagen de esta aplicación sería un abierto en [texx]S[/texx].
Un saludo

Pero el problema no es cumplir (1). Por (2) un homeomorfismo cumple que es sobreyectivo.

El problema es si [texx]V[/texx] es abierto en [texx]S[/texx] y (2) y (3) no lo garantizan.

Piensa en este ejemplo [texx]S=\mathbb{R^3}[/texx]; para cualquier punto de [texx]S[/texx] toma el plano paralelo al [texx]XY[/texx] que lo contiene y tienes un homeomorfismo trivial de él con todo [texx]\mathbb{R}^2.[/texx] Pero [texx]S[/texx] no es una superficie regular (de hecho es una variedad de dimensión [texx]3[/texx] no de dimensión [texx]2[/texx]) y el problema está en que esos planos paralelos al [texx]XY[/texx] no son abiertos en [texx]S[/texx], no son abiertos en [texx]\mathbb{R}^3[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #4 : 14/03/2018, 04:18:01 am »

Según interpreto lo que Eparoh busca es confirmar (o desmentir) lo siguiente: siendo [texx]S[/texx] una superficie regular y [texx]V\subset S[/texx] un subconjunto tal que existe un homeomorfismo [texx]f:U\to V[/texx] donde [texx]U[/texx] es abierto en [texx]\Bbb R^2[/texx] entonces [texx]V[/texx] es abierto en [texx]S[/texx].

No he conseguido llegar a nada concluyente. Pareciera que la afirmación es cierta pero no sé cómo demostrarlo (si [texx]V[/texx] fuese abierto entonces existiría un abierto en [texx]S[/texx] entorno a cada punto contenido en [texx]V[/texx]).
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« Respuesta #5 : 14/03/2018, 07:17:18 am »

Hola

Según interpreto lo que Eparoh busca es confirmar (o desmentir) lo siguiente: siendo [texx]S[/texx] una superficie regular y [texx]V\subset S[/texx] un subconjunto tal que existe un homeomorfismo [texx]f:U\to V[/texx] donde [texx]U[/texx] es abierto en [texx]\Bbb R^2[/texx] entonces [texx]V[/texx] es abierto en [texx]S[/texx].

No he conseguido llegar a nada concluyente. Pareciera que la afirmación es cierta pero no sé cómo demostrarlo (si [texx]V[/texx] fuese abierto entonces existiría un abierto en [texx]S[/texx] entorno a cada punto contenido en [texx]V[/texx]).

Si, es cierto.

Teniendo en cuenta que una superficie regular es localmente homemorfa a un abierto de [texx]\mathbb{R}^2[/texx] (es decir todo punto tiene un entorno abierto homeomorfo a un abierto de [texx]\mathbb{R}^2[/texx]), la cuestión es equivalente a si dado un  homeomorfismo [texx]f:U\to V\subset \mathbb{R}^2[/texx] donde [texx]U[/texx] es abierto en [texx]\Bbb R^2[/texx] entonces [texx]V[/texx] es abierto en [texx]\mathbb{R}^2[/texx]. Esto es cierto.

Está demostrado usando Cohomologia en estas notas de nuestro apreciado Enrique (Teorema 3.2, pág 27):

http://rinconmatematico.com/cohomologia/Seminario%20I.pdf

Saludos.
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« Respuesta #6 : 14/03/2018, 07:43:10 am »

Ah, ya veo. Gracias Luis.
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« Respuesta #7 : 15/03/2018, 06:48:04 am »


Pero el problema no es cumplir (1). Por (2) un homeomorfismo cumple que es sobreyectivo.

El problema es si [texx]V[/texx] es abierto en [texx]S[/texx] y (2) y (3) no lo garantizan.

Si, eso es lo que intentaba preguntar aunque no lo expresé del todo bien; si al encontrar las parametrizaciones de una posible superficie regular (la cual aún no sabemos si es o no una superficie) no era necesario comprobar si la imagen de dichas aplicaciones eran abiertos en [texx]S[/texx] y bastaba con saber que estaba contenida en [texx]S[/texx]. Con el ejemplo ya veo que esto no es así, muchas gracias.
Aún así, muy interesante el saber que si de antemano ya sabemos que si es una superficie regular entonces si podemos obviar este paso en la búsqueda de parametrizaciones.
Un saludo y muchas gracias a ambos.
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« Respuesta #8 : 15/03/2018, 08:29:14 am »

Respondo de nuevo, miré rápido la última respuesta  y no me di cuenta que aquí


Teniendo en cuenta que una superficie regular es localmente homemorfa a un abierto de [texx]\mathbb{R}^2[/texx] (es decir todo punto tiene un entorno abierto homeomorfo a un abierto de [texx]\mathbb{R}^2[/texx]), la cuestión es equivalente a si dado un  homeomorfismo [texx]f:U\to V\subset \mathbb{R}^2[/texx] donde [texx]U[/texx] es abierto en [texx]\Bbb R^2[/texx] entonces [texx]V[/texx] es abierto en [texx]\mathbb{R}^2[/texx]. Esto es cierto.

el homeomorfismo f que consideras es entre subconjuntos de [texx]\mathbb{R}^2[/texx] y no veo como esto es equivalente a que sea el [texx]V[/texx] que hemos descrito originalmente un abierto en [texx]S[/texx].
Un saludo.
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« Respuesta #9 : 15/03/2018, 09:58:27 am »

Hola

Teniendo en cuenta que una superficie regular es localmente homemorfa a un abierto de [texx]\mathbb{R}^2[/texx] (es decir todo punto tiene un entorno abierto homeomorfo a un abierto de [texx]\mathbb{R}^2[/texx]), la cuestión es equivalente a si dado un  homeomorfismo [texx]f:U\to V\subset \mathbb{R}^2[/texx] donde [texx]U[/texx] es abierto en [texx]\Bbb R^2[/texx] entonces [texx]V[/texx] es abierto en [texx]\mathbb{R}^2[/texx]. Esto es cierto.

el homeomorfismo f que consideras es entre subconjuntos de [texx]\mathbb{R}^2[/texx] y no veo como esto es equivalente a que sea el [texx]V[/texx] que hemos descrito originalmente un abierto en [texx]S[/texx].

La clave está en la primera frase marcada en rojo.

Supón que tienes un homemomorfismo [texx]f:U\subset \mathbb{R}^2\to f(U)\subset S[/texx] donde [texx]S[/texx] es una superficie regular y [texx]U[/texx] es un abierto del plano.

Sea [texx]f(p)\in f(U)[/texx]. Por ser superficie regular (es clave) existe un abierto [texx]V[/texx] en [texx]S[/texx], con [texx]f(p)\in V[/texx] y un homeomorfismo [texx]g:V\to V'\subset \mathbb{R}^2[/texx] donde [texx]V'[/texx] es un abierto de [texx]\mathbb{R}^2[/texx].

Entonces [texx]V\cap f(U)[/texx] es un abierto de [texx]f(U)[/texx] y así [texx]U'=f^{-1}(V\cap f(U))[/texx] es abierto de [texx]U[/texx] y a su vez de [texx]\mathbb{R}^2[/texx].

Por tanto la restricción [texx]h=f|_{U'}[/texx] es un homeomorfismo de [texx]U'[/texx] abierto de [texx]\mathbb{R}^2[/texx] en [texx]V\cap f(U).[/texx]

Ahora compongemos con [texx]g[/texx] y [texx]g\circ h[/texx] es un homeomorfismo:

[texx]g\circ h:U'\subset \mathbb{R}^2\to g(V\cap f(U))\subset \mathbb{R}^2[/texx]

Ahora usando el resultado que está demostrado en el documento de Enrique sabemos que [texx]g(V\cap f(U))[/texx] es abierto de [texx]\mathbb{R}^2[/texx]. Por ser [texx]g[/texx] homemorfismo [texx]V\cap f(U)[/texx] es abierto en [texx]V [/texx] y como [texx]V[/texx] es abierto en [texx]S[/texx] (¡esto es clave!),  entonces [texx]V\cap f(U)[/texx] es abierto en [texx]S[/texx].

Conclusión: hemos visto que para todo [texx]f(p)\in f(U)[/texx] existe un abierto [texx]V\cap f(U) [/texx] en [texx]S[/texx] tal que [texx]f(p)\in V\cap f(U)\subset f(U)[/texx] por tanto [texx]f(U)[/texx] es abierto en [texx]S[/texx].

No sé si te parece farragosa la prueba detallada, pero quiero insistir en que se basa en una idea muy simple: una superficie regular localmente es homeomorfa a un abierto de [texx]\mathbb{R}^2[/texx] y el ser abierto es una propiedad local. Por tanto el resultado de Enrique sobre homeomorfismos en [texx]\mathbb{R}^2[/texx] es extrapolable a superficies regulares.

Saludos.
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« Respuesta #10 : 19/03/2018, 07:01:57 am »

Vale, ya queda todo muy claro, y para nada farragosa la demostración, esta genialmente detallada  :guiño:
Muchísimas gracias como siempre, y un saludo.
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